next up previous
Next: Riemannova zeta funkce Up: Obrazky zlutych ruzi 9 Previous: Zobecnění jedné úlohy z lineární

Suma přirozených čísel

Luboš Motl

Mnozí z nás si nedávno vyslechli přednášku Ctirada Klimčíka, PhD. Cílem tohoto článku je konstatovat, že

displaymath621

je experimentálně ověřený fakt, a dokumentovat tím rozdíl mezi matematikou odříznutou od reality, to jest matematiky matematiků, a matematiky skutečné, to jest matematiky fyziků. Nemíním nijak dokazovat, že suma částečných součtů tak, jak ji často používáme, neroste nade všechny meze, nebo se dokonce blíží tex2html_wrap_inline623 , nýbrž jen poukázat na fyzikální oprávnění výše uvedené rovnosti.

Zajisté, intuitivní zacházení s matematikou není tak neproblematické jako axiomaticky přesná cesta, ale podám prosté vymezení toho, kdy lze takto počítat. Máme v dobré paměti, jak v minulém století učinila matematická analýza se svou tex2html_wrap_inline625 gymnastikou pořádek ve změti paskvilů, které napsali lidé neumějící počítat s nekonečně malými čísly, ovšem za cenu zdvojnásobení počtu kvantifikátorů ve výrocích. Výsledky intuitivního zacházení jsou však ještě úspěšnější.

Jednodušší příklad je suma řady geometrické, tex2html_wrap_inline627 . Tuto rovnost obvykle akceptujeme jen pro tex2html_wrap_inline629 , ale výraz na pravé straně má jednoznačný smysl (vyjma q=1) pro všechna komplexní n. Proč bychom tedy nemohli říci, že když součet S=1+10+100+1000... vynásobíme deseti, dostaneme 10+100+1000...=S-1, čili 10S=S-1, tex2html_wrap_inline641 ? Počítáme-li téměř cokoli v kvantové teorii pole, vždy se musíme uchýlit k podobnému triku, abychom dostali konečné výsledky, a jiné přeci nechceme, ne?





Lubos Lumo Motl
Sat Oct 25 21:45:01 EDT 1997