next up previous
Next: Zeta záporných sudých Up: Suma přirozených čísel Previous: Suma přirozených čísel

Riemannova zeta funkce

Definujme ji s parametrem s, obyčejně nulovým.

displaymath645

Nám zajímavý součet je tex2html_wrap_inline647 . Poznamenejme, že pro n>1 je funkce dobře definována, např. tex2html_wrap_inline651 (přesně). Opět funkci, která je v určitém oboru komplexních čísel dobře definována a jde jednoznačně analyticky rozšířit, prodlužme. Všimnuv si, že

displaymath653

(při přechodu od s=0 k s=1 pouze vynecháme první sčítanec), rozepišme funkci do Taylorovy řady v okolí s=0, zajímaje se o s=1.

equation157

Derivace zeta funkce podle proměnné s však lze lehce vypočítat:

displaymath665

a obecně m-tá derivace jest:

displaymath669

Odečteme-li tex2html_wrap_inline671 od obou stran rovnice (1) a zohledníme-li poslední vztah pro derivaci, máme

eqnarray177

Dosadíme do této rovnice tex2html_wrap_inline673 . Vzhledem k tomu, že pro x>1 má zeta funkce konečnou hodnotu, kterou zde násobíme číslem jdoucím k nule, vliv má jen první člen. To jest

displaymath677

Dosadíme-li tex2html_wrap_inline679 , máme

displaymath681

Ale tex2html_wrap_inline683 , a proto tex2html_wrap_inline685 . A nakonec dosazením tex2html_wrap_inline687 zbudou v rovnici jen členy

displaymath689

což po úpravě dává

displaymath691

Zajisté, existuje-li limita u bodu -1, chápeme ji přímo jako funkční hodnotu. Všimněte si, že všechny provedené operace byly platné (a sumy konvergentní) alespoň v nějakém kruhu v komplexní rovině.

(Tento důkaz pochází z mé dílny, a tak mi, prosím, promiňte případnou nemotornost.)



Lubos Lumo Motl
Sat Oct 25 21:45:01 EDT 1997