next up previous
Next: Bosonové struny nejsou super Up: Suma přirozených čísel Previous: Riemannova zeta funkce

Zeta záporných sudých

Když zkusíte uvedený postup aplikovat pro výpočet dalších hodnot a všimnete si, že zeta funkce je pro záporná sudá čísla rovna nule, pokusíte se fenomén dokazovat kombinatorickými metodami. Vždyť jen podle kombinatorického pravidla počítáte další a další hodnoty a pořadím sudé z nich jsou nulové. Ani za hodinu jsem věc kombinatoricky nedokázal, až mě napadlo použít opět tex2html_wrap_inline695 , tentokrát pro s=-1.

Pro x>1 má smysl psát (všechno konverguje)

equation191

(Opět se řady v limitě liší jen o prvý člen.)

Víme, že pro x<0 je tex2html_wrap_inline703 . (Byla by chyba to rozšiřovat i pro nezáporná x.) Tedy rozšířením (3) máme

displaymath707

Obdobným taylorovským postupem dostaneme pro x<0

eqnarray199

a trochu víry v metody zde propagované získáte, dosadíte-li za x hodnoty tex2html_wrap_inline713 a ověříte si platnost vztahu.

Pro důkaz stačí teď psát polovinu součtu rovnic (2) a (4) (psali-li bychom polovinu rozdílu, také bychom dostali závěr).

displaymath715

Dosadíme-li sem za x hodnoty tex2html_wrap_inline719 , poslední nenulový člen napravo bude násobek tex2html_wrap_inline721 a tento člen bude mít právě velikost tex2html_wrap_inline723 a vyruší se tedy s levou stranou.

Zbylé členy nás ujistí, že jsou-li nulová (např. volím za x=-10) čísla tex2html_wrap_inline727 a tex2html_wrap_inline729 , pak je nulové i tex2html_wrap_inline731 , odtud indukcí zeta má kořeny v záporných sudých číslech.

Ti, kteří odmítají analytické prodlužování a všechny jeho výsledky, by se teď měli zamyslit, protože nám pomohlo k důkazu jisté nesporně smysluplné věty o rekurzivních racionálních funkcích.



Lubos Lumo Motl
Sat Oct 25 21:45:01 EDT 1997