Definujme ji s parametrem s, obyčejně nulovým.
Nám zajímavý součet je 
. Poznamenejme, že pro n>1 je funkce
dobře definována, např. 
(přesně).
Opět funkci, která je v určitém oboru komplexních čísel dobře definována
a jde jednoznačně analyticky rozšířit, prodlužme.
Všimnuv si, že
(při přechodu od s=0 k s=1 pouze vynecháme první sčítanec), rozepišme funkci do Taylorovy řady v okolí s=0, zajímaje se o s=1.
Derivace zeta funkce podle proměnné s však lze lehce vypočítat:
a obecně m-tá derivace jest:
Odečteme-li 
od obou stran rovnice (1) a zohledníme-li
poslední vztah pro derivaci, máme
Dosadíme do této rovnice 
. Vzhledem k tomu, že pro x>1
má zeta funkce konečnou hodnotu, kterou zde násobíme číslem jdoucím k nule,
vliv má jen první člen. To jest
Dosadíme-li 
, máme
Ale 
,
a proto 
. A nakonec dosazením 
zbudou v rovnici jen členy
což po úpravě dává
Zajisté, existuje-li limita u bodu -1, chápeme ji přímo jako funkční hodnotu. Všimněte si, že všechny provedené operace byly platné (a sumy konvergentní) alespoň v nějakém kruhu v komplexní rovině.
(Tento důkaz pochází z mé dílny, a tak mi, prosím, promiňte případnou nemotornost.)