next up previous
Next: Konec nekonečen? Up: Obrazky zlutych ruzi 10 Previous: Skúškové nie je dovolenka

Cesta k superstrunám

Luboš Motl

Hned po vzniku teorie relativity si lidé položili otázku, zda mohou existovat jiné fundamentální objekty než bodové. Odpověděli si však, že existovat nemohou, protože by tím byla porušena relativističnost teorie; měli totiž stále před očima těleso, do něhož ze strany narazí jiné těleso, a jelikož se signál nemůže šířit nadsvětelnou rychlostí, zbytek tělesa nemůže reagovat ihned a tudíž je těleso složeno z nějakých elementárnějších (bodových) objektů. Myšlenky mířící tímto směrem tedy nadlouho zapadly.

Idea znovu ožila někdy v šedesátých letech, kdy lidé tvořili mnohé teorie silných interakcí. Kdosi totiž vyslovil nápad, že jakýsi v té chvíli promýšlený systém interakce prostřednictvím nekonečného množství druhů částic připouští názornou interpretaci za předpokladu, že základními stavebními objekty nejsou body, ale struny.

Fyzici si brzy uvědomili, jak je to logické. Jestliže účinek pro bodovou částici počítáme v relativitě jako (užívaje jednotky s c=1)

displaymath736

délku světočáry částice v Minkowského časoprostoru (v klasické fyzice zbude z L Taylorův rozvoj tex2html_wrap_inline740 + nepodstatná konstatní klidová energie tex2html_wrap_inline742 ), nevypadá vůbec uměle, necháme-li provázek kmitat v prostoru a předepíšeme-li mu účinek ve tvaru plošného obsahu (v Minkowského geometrii) jeho světoplochy (world sheet, znázornění časového průběhu pohybu struny). Zajisté, každého napadne, že kromě strun bychom měli promýšlet i vícerozměrné objekty (dvourozměrným se říká membrány), ovšem struny mají mnoho výhod. Jen pro ně je možné linearizovat účinek zavedením zvláštní kalibrace.

Jak se liší prostor stavů struny od prostoru stavů bodu? Jestliže bodová částice je popsána Schrodingerovou vlnovou funkcí na prostoru funkcí, na němž účinkují operátory hybnosti a polohy s komutační relací (indexy i,j budou určovat, o kterou prostorovou souřadnici jde, a tex2html_wrap_inline746 budeme dále vynechávat)

displaymath748

tak vlnovou funkci struny definujeme v prostoru, který ``má'' pro každou prostorovou souřadnici tolik rozměrů, kolik je bodů na struně; na Hilbertově prostoru jejích stavů tedy budou účinkovat operátory tex2html_wrap_inline750 s komutační relací

displaymath752

Parametr tex2html_wrap_inline754 nabývá hodnot z nějakého intervalu, častou konvencí je interval tex2html_wrap_inline756 .

Struny mohou být uzavřené nebo otevřené. V prvém případě (struna je provázek se spojenými konci) jsou souřadnice periodické, v druhém (struna má dva konce) je derivace souřadnic na obou jejích koncích nulová.

Je jasné, že rozumněji budeme s operátory zacházet, poskládáme-li je do Fourierových kombinací

displaymath758

a podobně u p. Jestliže stejným způsobem přepíšeme na módy generátor tex2html_wrap_inline762 ``časové'' evoluce ve směru tex2html_wrap_inline764 na světelném kuželi

displaymath766

nalezneme pro operátor čtverce hmotnosti

displaymath768

vztah z Obrázků číslo 9. Vlnová funkce je zde míněna jako funkce (nekonečného množství) souřadnic tex2html_wrap_inline770 a kladného tex2html_wrap_inline772 (vlnovou funkci pro tex2html_wrap_inline774 uvažujeme jako komplexně sdruženou, po převodu na duální proměnnou tex2html_wrap_inline776 bude funkce reálná). Tuto závislost je třeba trochu vysvětlit: uvažujeme-li struny v (d-1)-rozměrném prostoru v jednom ``okamžiku'' tex2html_wrap_inline764 , měli bychom souřadnice tex2html_wrap_inline770 (těch je d-2) a souřadnici tex2html_wrap_inline786 . Ovšem různé parametrizace téže struny v (d-1) rozměrném prostoru je nutno ztotožnit, a to se obvykle činí kalibrací ``s konstantní hustotou tex2html_wrap_inline772 na jednotku tex2html_wrap_inline754 ''. Jako důsledek nezávislosti na parametrizaci zbude

displaymath794

neboli

displaymath796

Ještě navíc však zbude pro uzavřené struny požadavek periodičnosti tex2html_wrap_inline776

displaymath800

což po přepisu do Fourierových módů dá podmínku pro stavy fyzikálního podprostoru

displaymath802

kde tex2html_wrap_inline804 jsou módy tex2html_wrap_inline806 . U otevřených strun obvykle rozkládáme tex2html_wrap_inline770 na kombinace tex2html_wrap_inline810 .

Otevřené struny přinesly lidstvu radost v roce 1984, kdy Michael Boris Green a John H. Schwarz zjistili, že na jednosmyčkové úrovni (one loop level) vychází vše konečné a bez anomálií (hodnoty Feynmanových diagramů bez vstupních a výstupních linií jsou nulové) pro a jen pro kalibrační grupu SO(32). Jedna z posledních věcí, kterou potřebovali zjistit, byla dimenze grupy SO(32).

``Kolik je tex2html_wrap_inline816 ?'' ptá se Schwarz Greena. (Jestliže vyjde 496, pravděpodobnost správnosti jejich teorie se zvýší.) Green si součin napsal pečlivě na tabuli a odpověděl: ``486''. ``Nefunguje to,'' řekl zdrceně Schwarz, ``zkus to znovu.'' Podruhé již Green počítal správně. Teorie superstrun v této zkoušce z elementární matematiky obstála.

Teorie s otevřenými strunami, zvaná teorie prvního typu, je teorií neorientovaných strun uzavřených a otevřených, které na svých koncích drží ``kvarek'' resp. ``antikvarek'' nesoucí kvantová čísla dané kalibrační grupy. Takovým strunám vládnou dva druhy interakce: procesy křížící (crossing over) jsou podobné jako u teorií druhého typu a jde o spojení dvou uzavřených strun do jedné, křížení dvou otevřených strun (jako u chromozómů) a napojení uzavřené struny doprostřed otevřené (a samozřejmě procesy opačné). Procesy rozpojovací vyrábějí z jedné otevřené struny dvě otevřené struny nebo rozpojí uzavřenou strunu na otevřenou (a děje zpětné). Aby totiž interakce nenarušily lokalitu teorie, což je téměř identická podmínka s relativistickou invariancí, musí být totiž interakční procesy ovlivněny pouze situací v malém okolí a nesmí se ``zajímat'' o to, jakým strunám části provázků náležejí.

picture119

Obecně se ale věří více teoriím jen uzavřených strun. Teorie druhého typu obsahují pro své orientované uzavřené struny jediný druh interakce crossing-over typu (a k němu opačný) -- totiž spojení dvou strun do jedné. Transformace kalibrační grupy získáme na toru svinutých souřadnic. Nejpopulárnější kandidát pro výstavbu realistických teorií je tzv. heterotická struna (Emil Martinec a další, 1985): takzvané vlevojdoucí a vpravojdoucí módy ( tex2html_wrap_inline818 ) totiž vzájemně komutují a generátory grupy Poincaré jsou součty výrazů, z nichž jeden obsahuje jen vlevojdoucí a jeden jen vpravojdoucí módy, a interakční člen je součinem vlevojdoucí a vpravojdoucí části. Lze pak tedy vzít vlevojdoucí sektor z bosonové struny a vpravojdoucí ze superstruny. Šestnáct přebytečných vlevojdoucích bosonových souřadnic svineme na torus, kterým musí být samoduální mřížka nějaké grupy ranku 16, konkrétně musí jít o SO(32) nebo tex2html_wrap_inline822 . V druhém případě se ještě s oblibou říká, že jedna z grup tex2html_wrap_inline824 se naruší do realistické GUT-grupy (většinou tex2html_wrap_inline826 ) a s ``temným'' světem druhé tex2html_wrap_inline824 pak interagujeme jen gravitačně.




next up previous
Next: Konec nekonečen? Up: Obrazky zlutych ruzi 10 Previous: Skúškové nie je dovolenka

Lubos Lumo Motl
Sat Oct 25 21:19:58 EDT 1997