Řešení atomu vodíku pomocí SO(4) symetrie

Luboš Motl

V článku jsou nalezeny degenerace a energie stavů Schrodingerova atomu vodíku čistě algebraickou prací s operátory, zvláště Runge-Lenzovým vektorem a momentem hybnosti, bez řešení diferenciálních rovnic. Postup může být považován za alternativu k ne zcela dávno odvozenému řešení úpravou Feynmanova integrálu na čtyřrozměrný harmonický oscilátor, stejně tak jako k obvyklému řešení převádějícímu Schrodingerovu rovnici na rovnici pro kulové funkce a přidružené Laguerrovy polynomy.

Runge-Lenzův vektor Již v klasické Keplerově úloze s hamiltoniánem

lze nalézt kromě momentu hybnosti další veličinu, která má nulovou Poissonovu závorku s hamiltoniánem, a tedy se zachovává. Jde o tzv. Runge-Lenzův vektor

jehož zákon zachování je spojen s faktem, že právě pro potenciál 1/r se křivka oběhu nestáčí. Runge-Lenzův vektor zachovává délku a míří stále rovnoběžným směrem se šipkou od ``Slunce'' k ``odsluní''. Existence takového vektoru má obdobu jen pro jeden další potenciál: pro izotropní n-rozměrný harmonický oscilátor, kde jsou trajektoriemi elipsy, které mají tentokrát v počátku střed (a ne ohnisko jako u Keplerovy úlohy). V případě izotropního oscilátoru se zachovává celý tenzor

jehož stopa je mimo jiné hamiltoniánem a antisymetrická část momentem hybnosti. Podle teorému Noetherové jsou s těmito zákony zachování spojeny invariance vůči transformacím generovaným Poissonovými závorkami s těmito zachovávajícími se veličinami:

Ale vrhněme se již do kvantového světa a podívejme se, jak bude příběh pokračovat.

Runge-Lenzův vektor v kvantové mechanice Oba zmiňované potenciály zůstanou výjimečnými i v kvantové teorii: u n-rozměrného oscilátoru s hamiltoniánem zapsaným pomocí kreačních a anihilačních operátorů jako

najdeme operátory , které s ním komutují a hermitovské kombinace kterých generují transformace grupy U(n). K-krát vzbuzená energetická hladina bude tedy tvořit multiplet -- reprezentaci U(n) resp. SU(n), identickou se symetrickými spinory s K indexy; stupeň degenerace je tedy dán kombinačním číslem K+n-1 nad n-1. (Počet K-prvkových kombinací prvků n-prvkové množiny s možným opakováním, u nichž nezávisí na pořadí, získáme jako počet způsobů, jak lze rozdělit n-1 přepážkami n skupin, přičemž počet prvků v j-té skupině odpovídá stupni vzbuzení j-té souřadnice. Celkem tedy vkládáme n-1 přepážek do K+n-1 buněk, proto tedy uvedené kombinační číslo.) Tento fakt je dobře znám a nebudeme ho rozebírat.

Neméně zajímavým je však kvantové zobecnění Runge-Lenzova vektoru. Mohli bychom se obávat, že odvození operátoru skládajícího se z nekomutujících , máme-li zadán klasický výraz, nebude jednoznačné. Ovšem (vedle triviálně zobecnitelného členu ) i členy tvaru jdou jednoznačně zobecnit na operátory, požadujeme-li po nich hermitovost, jelikož hermitovské části , , jakož i ostatních čtyř permutací jsou stejné. Definujme tedy hermitovský operátor jediným rozumným způsobem (rozepsali jsme )

Kromě toho užívejme operátor momentu hybnosti jako obvykle

Operátory i komutují s hamiltoniánem

a zajímavé je si spočítat i komutátory a vzájemně. Vyjde nám

což jsou vzorce vyjadřující, že i se transformují jako vektory při rotacích generovaných . Nejobtížnější je komutátor

při jehož složitém výpočtu nám mnohdy ulehčí práce vyškrtnutí i-j symetrických členů, díky nimž se komutátor shoduje s Poissonovou závorkou (násobenou ). Připomeňme, že komutuje s  , a tak je jedno, v jakém pořadí píšeme pravou stranu.

Dále se zabývejme konkrétní hladinou s danou vlastní hodnotou hamiltoniánu E, a to jen pro případ E<0. Potom poslední formule říkají, že generují algebru izomorfní algebře SO(4): operátor si lze představit, že je úměrný generátoru rotace i-té a čtvrté souřadnice. Ti, co se orientují v teorii Lieových grup, dobře vědí, že algebra SO(4) se rozpadá na algebru direktního součinu grup . Ostatním se asi budou následující výpočty jevit jako znebespadlé.

Užívejme místo operátorů a takové jejich lineární kombinace a , aby splňovaly tzv. SU(2) komutační relace

Očekáváme-li ve tvaru

vyjde nám z požadavku

podmínka (volba opačného znaménka odmocniny odpovídá pouhé záměně a ) a z další podmínky (nebo ekvivalentně s  ) dostaneme

tj. , čili

Pro operátory a platí obvyklé závěry o algebrách izomorfních SO(3), konkrétně vlastní hodnoty resp. jsou rovny resp. s  . My ovšem dále víme, že ; jejich rozdíl je úměrný , kterýžto skalární součin byl nulový již v klasické teorii ( leželo v rovině oběhu, na kterou bylo kolmé) a jehož vymizení v teorii kvantové lze spatřit třeba po přepsání všech členů do xx...pp... tvaru, kde se na určitých místech vyskytují indexy i,j,k; buď u xx... nebo u pp... jsou alespoň dva z nich, dají tedy výraz v nich symetrický, který se anuluje úžením s  .

Tedy , každá z projekcí a může nabývat hodnot od po jedné do . Zavedeme-li číslo , které je pro rovno , lze celkovou degeneraci psát jako

v souhlase s interpretací n jako hlavního kvantového čísla. Hladina s kvantovým číslem n se tedy transformuje jako (n,n) representace grupy .

Energie Na to, abychom nalezli možné hodnoty energie, je třeba nejprve roznásobovat a dokázat identitu

která nám v zásadě dovoluje definovat hamiltonián jako

Pro důkaz je třeba dosadit za , rozepsat dle definice a zacházet s  jako s tímtéž. (Vše provádíme v podprostoru vlastních vektorů s energií E.) Po vynásobení a převedení na pravou stranu se předposlední vzorec upraví na rovnost

jejíž důkaz vyžaduje asi desetinásobné úsilí proti analogické rovnosti pro klasické veličiny, ve které schází nalevo. Uvědomíme-li si, že vlastní čísla jsou (pamatuj, n jsme definovali pomocí ), a dosadíme-li za k nejzajímavější hodnotu , lehce dospějeme k vlastním hodnotám energie atomu vodíku