next up previous
Next: O autorech příspěvků v Up: No Title Previous: S Johnom Schwarzom o superstrunách

Řešení atomu vodíku pomocí SO(4) symetrie

Luboš Motl

V článku jsou nalezeny degenerace a energie stavů Schrodingerova atomu vodíku čistě algebraickou prací s operátory, zvláště Runge-Lenzovým vektorem a momentem hybnosti, bez řešení diferenciálních rovnic. Postup může být považován za alternativu k ne zcela dávno odvozenému řešení úpravou Feynmanova integrálu na čtyřrozměrný harmonický oscilátor,gif stejně tak jako k obvyklému řešení převádějícímu Schrodingerovu rovnici na rovnici pro kulové funkce a přidružené Laguerrovy polynomy.

Runge-Lenzův vektor Již v klasické Keplerově úloze s hamiltoniánem

equation514

lze nalézt kromě momentu hybnosti další veličinu, která má nulovou Poissonovu závorku s hamiltoniánem, a tedy se zachovává. Jde o tzv. Runge-Lenzův vektor

equation518

jehož zákon zachování je spojen s faktem, že právě pro potenciál 1/r se křivka oběhu nestáčí. Runge-Lenzův vektor zachovává délku a míří stále rovnoběžným směrem se šipkou od ``Slunce'' k ``odsluní''. Existence takového vektoru má obdobu jen pro jeden další potenciál: pro izotropní n-rozměrný harmonický oscilátor, kde jsou trajektoriemi elipsy, které mají tentokrát v počátku střed (a ne ohnisko jako u Keplerovy úlohy). V případě izotropního oscilátoru se zachovává celý tenzor

equation522

jehož stopa je mimo jiné hamiltoniánem a antisymetrická část momentem hybnosti. Podle teorému Noetherové jsou s těmito zákony zachování spojeny invariance vůči transformacím generovaným Poissonovými závorkami s těmito zachovávajícími se veličinami:

equation527

Ale vrhněme se již do kvantového světa a podívejme se, jak bude příběh pokračovat.

Runge-Lenzův vektor v kvantové mechanice Oba zmiňované potenciály zůstanou výjimečnými i v kvantové teorii: u n-rozměrného oscilátoru s hamiltoniánem zapsaným pomocí kreačních a anihilačních operátorů jako

equation532

najdeme operátory tex2html_wrap_inline700 , které s ním komutují a hermitovské kombinace kterých generují transformace grupy U(n). K-krát vzbuzená energetická hladina bude tedy tvořit multiplet -- reprezentaci U(n) resp. SU(n), identickou se symetrickými spinory s K indexy; stupeň degenerace je tedy dán kombinačním číslem K+n-1 nad n-1. (Počet K-prvkových kombinací prvků n-prvkové množiny s možným opakováním, u nichž nezávisí na pořadí, získáme jako počet způsobů, jak lze rozdělit n-1 přepážkami n skupin, přičemž počet prvků v j-té skupině odpovídá stupni vzbuzení j-té souřadnice. Celkem tedy vkládáme n-1 přepážek do K+n-1 buněk, proto tedy uvedené kombinační číslo.) Tento fakt je dobře znám a nebudeme ho rozebírat.

Neméně zajímavým je však kvantové zobecnění Runge-Lenzova vektoru. Mohli bychom se obávat, že odvození operátoru skládajícího se z nekomutujících tex2html_wrap_inline732 , máme-li zadán klasický výraz, nebude jednoznačné. Ovšem (vedle triviálně zobecnitelného členu tex2html_wrap_inline734 ) i členy tvaru tex2html_wrap_inline736 jdou jednoznačně zobecnit na operátory, požadujeme-li po nich hermitovost, jelikož hermitovské části tex2html_wrap_inline738 , tex2html_wrap_inline740 , jakož i ostatních čtyř permutací jsou stejné. Definujme tedy hermitovský operátor jediným rozumným způsobem (rozepsali jsme tex2html_wrap_inline742 )

equation535

Kromě toho užívejme operátor momentu hybnosti jako obvykle

equation539

Operátory tex2html_wrap_inline744 i tex2html_wrap_inline746 komutují s hamiltoniánem

equation542

a zajímavé je si spočítat i komutátory tex2html_wrap_inline744 a tex2html_wrap_inline750 vzájemně. Vyjde nám

equation546

což jsou vzorce vyjadřující, že tex2html_wrap_inline752 i tex2html_wrap_inline750 se transformují jako vektory při rotacích generovaných tex2html_wrap_inline744 . Nejobtížnější je komutátor

equation550

při jehož složitém výpočtu nám mnohdy ulehčí práce vyškrtnutí i-j symetrických členů, díky nimž se komutátor shoduje s Poissonovou závorkou (násobenou tex2html_wrap_inline760 ). Připomeňme, že tex2html_wrap_inline762 komutuje s  tex2html_wrap_inline744 , a tak je jedno, v jakém pořadí píšeme pravou stranu.

Dále se zabývejme konkrétní hladinou s danou vlastní hodnotou hamiltoniánu E, a to jen pro případ E<0. Potom poslední formule říkají, že tex2html_wrap_inline770 generují algebru izomorfní algebře SO(4): operátor tex2html_wrap_inline746 si lze představit, že je úměrný generátoru rotace i-té a čtvrté souřadnice. Ti, co se orientují v teorii Lieových grup, dobře vědí, že algebra SO(4) se rozpadá na algebru direktního součinu grup tex2html_wrap_inline780 . Ostatním se asi budou následující výpočty jevit jako znebespadlé.

Užívejme místo operátorů tex2html_wrap_inline744 a tex2html_wrap_inline746 takové jejich lineární kombinace tex2html_wrap_inline786 a tex2html_wrap_inline788 , aby splňovaly tzv. SU(2) komutační relace

equation555

Očekáváme-li tex2html_wrap_inline792 ve tvaru

equation559

vyjde nám z požadavku tex2html_wrap_inline794

equation561

podmínka tex2html_wrap_inline796 (volba opačného znaménka odmocniny odpovídá pouhé záměně tex2html_wrap_inline786 a tex2html_wrap_inline788 ) a z další podmínky tex2html_wrap_inline802 (nebo ekvivalentně s  tex2html_wrap_inline788 ) dostaneme

equation566

tj. tex2html_wrap_inline806 , čili

equation570

Pro operátory tex2html_wrap_inline786 a tex2html_wrap_inline788 platí obvyklé závěry o algebrách izomorfních SO(3), konkrétně vlastní hodnoty tex2html_wrap_inline814 resp. tex2html_wrap_inline816 jsou rovny tex2html_wrap_inline818 resp. tex2html_wrap_inline820tex2html_wrap_inline822 . My ovšem dále víme, že tex2html_wrap_inline824 ; jejich rozdíl je úměrný tex2html_wrap_inline826 , kterýžto skalární součin byl nulový již v klasické teorii ( tex2html_wrap_inline828 leželo v rovině oběhu, na kterou bylo tex2html_wrap_inline742 kolmé) a jehož vymizení v teorii kvantové lze spatřit třeba po přepsání všech členů do xx...pp... tvaru, kde se na určitých místech vyskytují indexy i,j,k; buď u xx... nebo u pp... jsou alespoň dva z nich, dají tedy výraz v nich symetrický, který se anuluje úžením s  tex2html_wrap_inline840 .

Tedy tex2html_wrap_inline842 , každá z projekcí tex2html_wrap_inline844 a tex2html_wrap_inline846 může nabývat tex2html_wrap_inline848 hodnot od tex2html_wrap_inline850 po jedné do tex2html_wrap_inline852 . Zavedeme-li číslo tex2html_wrap_inline854 , které je pro tex2html_wrap_inline856 rovno tex2html_wrap_inline858 , lze celkovou degeneraci psát jako

equation578

v souhlase s interpretací n jako hlavního kvantového čísla. Hladina s kvantovým číslem n se tedy transformuje jako (n,n) representace grupy tex2html_wrap_inline780 .

Energie Na to, abychom nalezli možné hodnoty energie, je třeba nejprve roznásobovat a dokázat identitu

equation583

která nám v zásadě dovoluje definovat hamiltonián jako

equation587

Pro důkaz je třeba dosadit za tex2html_wrap_inline868 , tex2html_wrap_inline746 rozepsat dle definice a zacházet s  tex2html_wrap_inline872 jako s tímtéž. (Vše provádíme v podprostoru vlastních vektorů tex2html_wrap_inline762 s energií E.) Po vynásobení tex2html_wrap_inline878 a převedení tex2html_wrap_inline880 na pravou stranu se předposlední vzorec upraví na rovnost

equation591

jejíž důkaz vyžaduje asi desetinásobné úsilí proti analogické rovnosti pro klasické veličiny, ve které schází tex2html_wrap_inline882 nalevo. Uvědomíme-li si, že vlastní čísla tex2html_wrap_inline814 jsou tex2html_wrap_inline886 (pamatuj, n jsme definovali pomocí tex2html_wrap_inline890 ), a dosadíme-li za k nejzajímavější hodnotu tex2html_wrap_inline894 , lehce dospějeme k vlastním hodnotám energie atomu vodíku

equation594


next up previous
Next: O autorech příspěvků v Up: No Title Previous: S Johnom Schwarzom o superstrunách

Lubos Lumo Motl
Sat Oct 25 18:44:41 EDT 1997