Holografický princip

otištěno v časopise Vesmír 77, listopad 1998, strana 608-611
Článek ve formátu PDF naleznete zde.
Motto: Důvod, proč se cítíte sedět na trojrozměrném křesle a necítíte se být namalováni na tabuli, je jen v tom, že se skládáte z mnoha partonů.

Hologram, jak jistě víte, je dvojrozměrný obrázek, který když osvítíme laserem, spatříme krásný trojrozměrný objekt, který jako by vystupoval za rovinou obrázku. Objekt si přitom můžeme prohlížet ze všech stran. Holografii vymyslel maďarský fyzik Dennis Gábor v roce 1948, v době, kdy pracoval s elektronovými mikroskopy. Hologram se vyrábí hrubě řečeno tak, že paprsek laseru rozdvojíme a část jeho energie necháme odrážet od zobrazovaného předmětu, část necháme přicházet přímo (či přes zrcadlo) na fotografickou desku. Oba takové paprsky na stínítku interferují (tj. jejich vlny se skládají) a na filmu se vytvoří struktura tenkých proužků, v nichž je uložena informace o fázi světla, ačkoliv onoho hezkého medvídka v těch proužcích asi nespatříme. Osvícením se pak rekonstruují podobné paprsky, které obraz vytvořily. Přitom stačí jen střípek hologramu, abychom mohli vidět celý obrázek, byť v horší kvalitě (v nižším rozlišení).
To ale není téma, o kterém chci mluvit. Chci něco říci o v mnohém podobném principu v nejmodernější fyzice. Dále budu mluvit o černých dírách a podobných terčích zájmu dnešních teoretických fyziků, ačkoliv závěry mají univerzální platnost.

Černé díry

Černá díra je populárně řečeno kulový objekt, který má gravitaci tak silnou, že ani světlo není dostatečně rychlé na to, aby z černé díry mohlo uniknout. Proto se nám jeví černá. Existenci černých děr si uvědomili fyzici až v šedesátých letech (a John Wheeler jim dal tento pornografický název v roce 1971), ačkoliv relevantní Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic gravitace je známo už od dětských dní obecné teorie relativity, tj. od roku 1916. Je zajímavé, že Einstein sám byl dlouho přesvědčen, že jeho obecnou relativitu nelze aplikovat tak daleko, aby se toto řešení dalo interpretovat fyzikálně. Myslil si, že v reálné situaci jakási další síla, která obecnou relativitu přesahuje, zabrání zhroucení hvězdy do černé díry. V posledních letech se však hromadí experimentální doklady černých děr, ba i domněnky, že uprostřed naší vlastní galaxie sedí obří černá díra.

Pokud se nám majetek nebo rodina gravitačně zhroutí do černé díry, jediné, co po nich zbude, je podíl na černé díře, která je úplně popsána jen celkovou hmotností, elektrickým nábojem a momentem hybnosti. Tomu, že tyto tři parametry jednoznačně popisují černou díru, se říká "no-hair theorem" tj. "teorém o plešatosti černé díry". Ano, je to tak, černá díra nemá vlasy. Jakmile se černá díra s danou hodnotou těchto veličin ustálí, vypadá vždycky úplně stejně: obyčejná plešatá černá díra.

Termodynamika a vypařování černých děr

Ovšem z hlediska termodynamiky je takový závěr absurdní, protože s růstem černé díry klesá entropie, tj. míra neuspořádanosti soustavy, což je v rozporu s druhým termodynamickým zákonem: máme-li hodně odpadků, které jsou hodně v nepořádku, mají vysokou míru entropie, ovšem pokud je naházíme do černé díry, vznikne nám uspořádaný objekt, který má entropii nulovou, protože naivně viděno existuje jen jeden stav, který přesně popisuje černou díru. Černá díra nemá podle obecné teorie relativity mikroskopickou strukturu.
Tomuto paradoxu se říká "information loss paradox", paradox ztráty informace. Podobné úvahy vrtaly hlavou vědecké superhvězdě dnešního světa Stephenovi Hawkingovi v 70.letech. Několika nezávislými postupy spočetl, že černá díra není úplně černá, ale že se vypařuje, ačkoliv velmi pomalu, a nalezl tak cestu k jedinému rozumnému vysvětlení zdánlivého paradoxu.
Vypařování černé díry lze vysvětlit mnoha způsoby, které jsou ve skutečnosti ekvivalentní. Všechna tato vysvětlení mají ale něco společné: využívá se v nich toho, že v našem světě existuje jak gravitace (a černé díry), tak kvantová mechanika, dva pilíře dnešního fyzikálního obrazu světa, které jsou (jak se dnes zdá) slučitelné pouze na půdě teorie superstrun. Z černé díry se může vypařit cokoliv, většinou nějaký ten foton, elektron, pozitron, mnohem méně často i televizor PANASONIC.
Jedno vysvětlení spočívá v tom, že částice uvězněná v černé díře má alespoň trochu přesně určenou polohu. Aby byla uvězněna, musí být neurčitost její polohy menší než zhruba poloměr černé díry. Pak ale podle kvantové mechaniky musí mít alespoň trochu neurčitou hybnost, protože
delta(x).delta(p)>=Planckova konstanta,
jak nás naučil Werner Heisenberg. Neurčitost hybnosti ale znamená, že částice má přece jenom tendenci vylétnout ven. Přesnejší výpočet ukáže, že černá díra se vypařuje tím rychleji, čím je menší, protože delta(p) je pak větší, a spektrum záření se shoduje se spektrem záření černého tělesa, jehož teplota odpovídá povrchové gravitaci na horizontu černé díry (to je ta plocha, za kterou už není návratu). Velká černá díra se vypaří až za řekněme 10^{100} let.
Ekvivalentně můžeme říci, že virtuální páry elektron-pozitron, které podle kvantové teorie pole jakýmsi myšleným způsobem neustále vznikají a zanikají v prostoru, u povrchu černé díry mohou vzniknout, ale díky tomu, že jedna ze zrozených částic spadne dovnitř a druhá vyletí ven, už nikdy nemohou zanihilovat. Tento zrod páru v blízkosti černé díry již pak není myšleným, nýbrž reálným efektem, tudíž z povrchu černé díry musí nějaké částice vylétat.
Spolu s Rusem Bekensteinem si Hawking už v 70. letech uvědomil, že černá díra má nejen teplotu, odpovídající povrchové gravitaci, ale že musí mít i entropii, která se rovná v Planckových jednotkách (kde je c=hbar=G_Newton=1) čtvrtině velikosti povrchu horizontu černé díry. Bekenstein vycházel z toho, že povrch černé díry, která vznikne spojením dvou děr, není nikdy menší než součet povrchů oněch dvou děr, což pripomíná druhý termodynamický zákon a entropii, zatímco Hawking zkoumal kvantové jevy kolem černé díry v semiklasické aproximaci kvantové gravitace. Tím ale teoreticky vyřešili paradox ztráty informace, protože černá díra představuje také určitou entropii (nepořádek), která je rovnoměrně rozptýlena po jejím povrchu.

Mikroskopická struktura černých děr

Lidé se snažili dvacet let o mikroskopický popis toho, proč má černá díra entropii a další termodynamické vlastnosti, ovšem úspěchy se začaly dostavovat až v roce 1995 díky nové větvi teorie superstrun, tzv. teorii Dirichletových brán, krátce D-brán, což jsou objekty libovolné dimenze, které jsou definovány tím, že na nich mohou končit struny. Rozmach teorie D-brán je spojen se jménem Joe Polchinskiho. Vysvětlení entropie černých děr z teorie D-brán bylo dalším z fatálních důkazů pro názor, že teorie superstrun je jediným kandidátem na fungující kvantovou teorii obsahující gravitaci.

Obrázek. Černá díra podle Vafy a Stromingera vypadá na krátkých vzdálenostech a při slabé vazebné konstantě jako soustava D1-brán, D5-brán a otevřených strun, které jsou na D-brány připojeny konci. ...prosim prelozte obrazek do cestiny: slaba vazba, silna vazba, otevrena struna, D1-bra'na, D5-bra'na, cerna dira...

Černá díra se pak při malé hodnotě vazebné konstanty jeví jako soustava vibrujících jednorozměrných smyček (strun) a objektů rozmanitých dimenzí (brán), na kterých se mohou struny zachytit svými konci, přičemž ze zorného úhlu dlouhých vzdáleností se takový objekt chová stejně jako klasická černá díra. Počet mikrostavů, které vypadají jako černá díra s danou metrikou, se pak shoduje s předpovědí Hawkinga a Bekensteina. V průkopnické práci spočítal Cumrun Vafa a Andrew Strominger entropii extrémní černé díry v pětirozměrném časoprostoru. Dnes věc pokročila a bylo propočteno mnoho dalších černých děr, nejprve téměř extrémních, poté ale také Schwarzschildových.

Obrázek. Vypařování černé díry lze při slabé vazebné konstantě znázornit jako odtrhávání uzavřených strun z otevřených strun.

Vypadá to tedy tak, že stupně volnosti - jakési základní částice, které tvoří svět (a také v této souvislosti nazývané "bity" nebo "partony") - jsou v případě černé díry rozptýleny po povrchu, jelikož entropie černé díry (kterou lze interpretovat jako veličinu úměrnou počtu stupňů volnosti neboli logaritmu počtu možných konfigurací) je úměrná jejímu povrchu, jak jsme řekli. Toto chování kontrastuje s obvyklou zkušeností, kdy je entropie jako extenzivní veličina úměrná objemu. Zároveň černá díra představuje těleso, v němž je entropie soustředěna nejefektivnějším způsobem: plocha jejího horizontu je nejmenším možným povrchem oblasti, ve které se hmota s danou entropií může vyskytovat. To nás vede stejně jako holandského fyzika Gerarda 't Hoofta a amerického fyzika a komika Lennyho Susskinda k domněnce, že všechny stupně volnosti, v nichž je uložena informace o všem na světě, se dají jakýmsi způsobem lokalizovat na povrch prostoru, v němž žijí!
Představme si nyní ohromně velkou (tj. velmi těžkou) černou díru. Je tak velká, že její povrch se nám jeví skoro jako rovina. Ovšem v blízkosti jejího horizontu platí úplně obyčejné zákony fyziky. Konkrétně, pokud se necháme vtahovat po parabole do černé díry, ve volně padající soustavě se nám budou všechny jevy zdát stejné jako ve stavu beztíže (i slapové síly jsou malé díky malému zakřivení povrchu). Tohle nás učí Einsteinův princip ekvivalence.
Pak ale lokálním měřením nemůžeme zjistit, jestli jsme už za horizontem nebo nikoliv. Přesto si díky argumentu o úměře mezi plochou horizontu černé díry a její entropií můžeme představit, že všechny naše stupně volnosti jsou soustředěny na horizont. Celá situace je velmi podobná hologramu, protože plocha udržuje informaci o celém prostoru - a díky tomu se onomu principu říká holografický.
Díky principu ekvivalence, jak jsme řekli, musí tento princip přírody platit pro jakýkoliv fyzikální systém, nejen pro černou díru, protože dynamika jakéhokoliv fyzikálního systému vypadá úplně stejně jako dynamika systému padajícího do ohromné černé díry. Jsme tudíž vedeni k názoru, že všechny stupně volnosti jsou naskládány na dvojrozměrnou rovinu. Volba této roviny samozřejmě může být v obecném fyzikálním systému libovolná a nesmí ovlivnit fyzikální předpovědi.

Druhá superstrunná revoluce

V době těchto nových objevů (od roku 1995 po dnešek) zároveň probíhala nová revoluce v teorii superstrun, odstartovaná objevem tzv. dualit, které ukázaly, že všechny "různé teorie superstrun", jak se dříve říkalo, jsou jen poruchovými rozvoji jedné a téže teorie kolem různých bodů. Poeticky řečeno, fyzici v osmdesátých letech studovali zvíře ploché a tenké, pak pro změnu sloup s drsným povrchem, jindy zase zvíře - velký měch visící ve vzduchu a poté zase zvíře ve tvaru tenkého hada nebo provázku visícího z hůry. Ale až v devadesátých letech vyšlo najevo, že existuje jen jeden slon, ze kterého lze z určitých míst vidět jen placaté uši (teorie strun typu I), bytelné nohy (heterotická E_8 x E_8 teorie), velké břicho (heterotická SO(32) teorie), chobot (struny typu IIA) nebo ocásek (struny typu IIB). A ještě navíc ten slon má kly (jedenáctirozměrná supergravitace), kterými občas z legrace nabere ty teoretiky strun, kteří se dívali s despektem na supergravitaci jen proto, že neobsahuje struny. Lidé se totiž zároveň poučili, že struny jsou jen první mezi rovnými (jelikož připouštějí poruchový rozvoj), ovšem podobně důležité jsou pro onu teorii i objekty všech ostatních dimenzí, tzv. brány nebo p-brány, kde p značí dimenzi.

Konkrétně se ukázalo, že heterotická SO(32) teorie s vazebnou konstantou g je ekvivalentní teorii typu I (která má stejnou kalibrační grupu) s vazebnou konstantou 1/g; tomuto vztahu dvou teorií se říká S-dualita. (Kromě toho mohou být dvě teorie T-duální; pak je svinutí jedné na varietu o typickém rozměru R ekvivalentní svinutí druhé na varietu typického rozměru 1/R.) Podobně teorie typu IIB je S-samoduální. Toto vysvětluje chování tří superstrunných teorií z pěti při velkém g. Chování zbývajících dvou přineslo překvapení. Edward Witten (pravděpodobně nejuznávanější odborník v teorii superstrun) nejprve ukázal, že teorie typu IIA pro velké g vytváří novou, jedenáctou souřadnici, svinutou na kružnici o obvodu úměrném g^{2/3}. Limitou pro nekonečné g je tedy teorie v jedenáctirozměrném časoprostoru. Tato magická teorie se nazývá M-teorie a její nízkoenergetickou limitou je jedenáctirozměrná supergravitace. Největší oříšek, chování heterotické E_8 x E_8 teorie, se dočkal vysvětlení až ve slavném článku Edwarda Wittena a našeho krajana Petra Hořavy. Autoři ukázali, že také tato teorie vytváří jedenáctou souřadnici, jejíž délka je úměrná g^{2/3}, ovšem tato souřadnice má tvar nikoliv kružnice, ale úsečky. Heterotická E_8 x E_8 teorie je tedy ekvivalentní M-teorii na pásu jedenáctirozměrného časoprostoru, přičemž každý ze dvou faktorů E_8 kalibrační grupy žije na jedné ze dvou hranic tohoto pásovitého světa.

Maticová teorie

V říjnu 1996 spatřila světlo světa takzvaná M(aticová) teorie - což je realizace dlouho *M*ysteriózní a *M*agické teorie nazvané M-teorie Edwardem Wittenem, obsahující dvojrozměrné *M*embrány (tato tři slova hrála roli pro vznik názvu *M*-teorie), pomocí *M*aticových *M*odelů. Doklady existence M-teorie se hromadily po dlouhou dobu, ale lidé o M-teorii věděli dlouho jen pár věcí, například že v limitě nízkých energiích přechází na jedenáctirozměrnou supergravitaci, což je nejkrásnější supersymetrické rozšíření Einsteinovy obecné teorie relativity. Příroda měla přichystáno překvapení: jedno z hlavních odůvodnění písmena "M", totiž "maticové modely", si lidé uvědomili až rok po zrodu názvu M-teorie. M(aticová) teorie je explicitním modelem ilustrujícím holografický princip.
Výklad M(aticové) teorie nebo jiných aspektů teorie superstrun by si zasloužil rozsáhlý text, ale řekněme alespoň pár slov, které bohužel nutně sníží srozumitelnost článku. Hamiltonián tohoto kvantově mechanického modelu je velmi jednoduchý (maximálně supersymetrická Yang-Millsova teorie s grupou U(N) v 9+1 dimenzích redukovaná do 0+1 dimenzí) a popisuje N základních částic, zvaných "D0-brány". Každá D0-brána nese jednu jednotku hybnosti ve směru kolmém na plochu, do níž chceme uložit informaci. Fyzikální systém s 9 páry matic X,P rozměru N krát N (a jejich 16 antikomutujícími partnery, které však pro jednoduchost zanedbejme), jejichž maticovými elementy jsou operátory

(x^i)_mn, (p^i)_mn, i=1...9, m,n=1..N,
[(x^i)_kl, (p^j)_mn] = i.hbar.delta^ij.delta_kn.delta_lm

na Hilbertově prostoru, tedy popisuje sektor stavů M-teorie s hybností N/R ve směru zvolené dimenze x^-. Tato dimenze je právě oním směrem kolmým ke zvolené rovině "hologramu". Zanedbáme-li fermionové souřadnice a konstantní koeficienty, hamiltonián vypadá takto:

H=Tr {(P_i)^2+(i[X_i,X_j])^2}


Termín "D0-brány" čti "dé-nula-brány", slovo "brána" vzniklo useknutím "mem" ze slova "membrána". Nula označuje počet prostorových dimenzí D-brány, 0-brána je tedy částice, 1-brána je "struna", 2-brána je membrána atd. D-brány neboli Dirichletovy brány jsou zvláštní (ale asi nejdůležitější) třídou brán a nesou jméno podle Dirichletových okrajových podmínek pro souřadnice na koncích strun, které na D-bránách mohou končit.
Souřadnice těchto N D0-brán netvoří uspořádanou N-tici, jak jsme zvyklí, ale celou matici N krát N, která odpovídá vektorovému potenciálu v Yang-Millsově teorii s grupou U(N). Pokud jsou D0-brány daleko od sebe, matici lze s velkou přesností diagonalizovat (vlnová funkce je zanedbatelná v bodě odpovídajícím klasické konfiguraci silně nekomutujících matic díky potenciálnímu členu v hamiltoniánu -Tr [X_i,X_j]^2) a diagonální elementy nám říkají, jaké jsou klasické polohy těchto "částic". Čísla mimo diagonálu ve skutečnosti nejsou přesně nulová, ale mohou kolem nuly fluktuovat a tyto fluktuace (virtuální efekty nediagonálních elementů matic, které jsou dimenzionální redukcí W-bosonů, ovšem v kontextu maticového modelu jsou nelokálními veličinami) zodpovídají za všechny interakce mezi D0-bránami.
Ovšem matic souřadnic těchto D0-brán je o jednu méně, než je prostorových souřadnic (konkrétně je jich jen devět). Přesto tato teorie popisuje dění v původním prostoru, který má deset prostorových dimenzí a jednu časovou (celkem jedenáct). Jedna D0-brána má pozici v posledním desátém prostorovém směru zcela neurčitou. Ovšem pokud máme D0-brán velké množství, můžeme do jejich počtu pomocí Fourierových řad zakódovat i poslední souřadnici. Reálný časoprostor má dimenze čtyři, tedy o sedm méně než nejjednodušší maticový model M-teorie, který popisuje jedenáctirozměrný časoprostor, ale to nehraje zásadní roli v chápání podstaty teorie.
To znamená, že důvod, proč se vám zdá, že jako trojrozměrní lidé sedíte na trojrozměrné židli - a nikoliv že jste nakresleni na dvojrozměrnou plochu tabule - je jen v tom, že se skládáte z velkého množství D0-brán!
Holografický princip M(aticová) teorie ukazuje na mnoha místech, například v tom, že příčná velikost objektu složeného z D-brán roste tak, že celková "plocha" (v případě M-teorie 9-rozměrná) je úměrná počtu D-brán. Také výpočty vlastností černých děr v M(aticové) teorii podporují tento pohled.

Závěr

Jako shrnutí těchto odstavců lze říci, že v posledních letech dochází k nové revoluci v našem chápání času a prostoru. Před očima fyziků se rýsuje obraz velmi hluboké matematické struktury, která sjednocuje a zobecňuje obecnou kovarianci a lokální kalibrační invarianci známou z teorie pole. Geometrie je jen jedním z možných řešení, které tato struktura připouští, a má smysl jen na vzdálenostech větších než Planckova délka. Každý týden spatří světlo světa desítky článků, přinášejících potvrzení mnoha netriviálních hypotéz o vztahu mezi teoriemi strun a různými teoriemi pole, relevantními pro M-teorii. Například v posledních měsících se těží mnoho závěrů z hypotézy Juana Maldaceny, že superkonformní teorie pole s velkým přirozeným parametrem N jsou ekvivalentní M-teorii na anti de Sitterově prostoru. Navzdory velkým úspěchům v chápání matematické struktury a dílčím úspěchům ve fenomenologii nikdo netuší, kolik dalších revolucí budou muset teoretici projít, než vysvětlí zásadní otázku, totiž proč se náš svět chová právě tak, jak se chová.
Luboš Motl