Hologram, jak jistě víte, je dvojrozměrný obrázek, který
když osvítíme laserem, spatříme krásný trojrozměrný objekt, který jako by
vystupoval za rovinou obrázku. Objekt si přitom můžeme prohlížet ze všech
stran. Holografii vymyslel maďarský fyzik Dennis Gábor v roce 1948, v
době, kdy pracoval s elektronovými mikroskopy. Hologram se vyrábí hrubě
řečeno tak, že paprsek laseru rozdvojíme a část jeho energie necháme
odrážet od zobrazovaného předmětu, část necháme přicházet přímo (či přes
zrcadlo) na fotografickou desku. Oba takové paprsky na stínítku
interferují (tj. jejich vlny se skládají) a na filmu se vytvoří struktura
tenkých proužků, v nichž je uložena informace o fázi světla, ačkoliv onoho
hezkého medvídka v těch proužcích asi nespatříme. Osvícením se pak
rekonstruují podobné paprsky, které obraz vytvořily. Přitom stačí jen
střípek hologramu, abychom mohli vidět celý obrázek, byť v horší kvalitě
(v nižším rozlišení).
To ale není téma, o kterém chci mluvit. Chci něco říci o v mnohém podobném
principu v nejmodernější fyzice. Dále budu mluvit o černých dírách a
podobných terčích zájmu dnešních teoretických fyziků, ačkoliv závěry mají
univerzální platnost.
Černé díry
Černá díra je populárně řečeno kulový objekt, který má gravitaci tak
silnou, že ani světlo není dostatečně rychlé na to, aby z černé díry mohlo
uniknout. Proto se nám jeví černá. Existenci černých děr si uvědomili
fyzici až v šedesátých letech (a John Wheeler jim dal tento pornografický
název v roce 1971), ačkoliv relevantní Schwarzschildovo řešení
Einsteinových rovnic gravitace je známo už
od dětských dní obecné teorie
relativity, tj. od roku 1916. Je zajímavé, že Einstein sám byl dlouho
přesvědčen, že jeho obecnou relativitu nelze aplikovat tak daleko, aby se
toto řešení dalo interpretovat fyzikálně. Myslil si, že v reálné situaci
jakási další síla, která obecnou relativitu přesahuje, zabrání zhroucení
hvězdy do černé díry. V posledních letech se však hromadí experimentální
doklady černých děr, ba i domněnky, že uprostřed naší vlastní galaxie sedí
obří černá díra.
Pokud se nám majetek nebo rodina
gravitačně
zhroutí do černé díry, jediné, co po nich
zbude, je podíl na
černé díře, která je úplně popsána jen celkovou hmotností,
elektrickým nábojem a momentem hybnosti.
Tomu, že tyto tři parametry
jednoznačně popisují černou díru, se říká "no-hair theorem" tj. "teorém o
plešatosti černé díry". Ano, je to tak, černá díra nemá vlasy. Jakmile se
černá díra s danou hodnotou těchto veličin ustálí, vypadá vždycky úplně
stejně: obyčejná plešatá černá díra.
Termodynamika a vypařování černých děr
Ovšem z hlediska termodynamiky je takový závěr absurdní, protože s růstem
černé díry klesá entropie, tj. míra neuspořádanosti soustavy, což je v
rozporu s druhým termodynamickým zákonem: máme-li hodně odpadků, které
jsou hodně v nepořádku, mají vysokou míru entropie, ovšem pokud je
naházíme do černé díry, vznikne nám uspořádaný objekt, který má entropii
nulovou, protože naivně viděno existuje jen jeden stav, který přesně
popisuje černou díru. Černá díra nemá podle obecné teorie relativity
mikroskopickou strukturu.
Tomuto paradoxu se říká "information loss paradox", paradox ztráty
informace. Podobné úvahy vrtaly hlavou vědecké superhvězdě dnešního světa
Stephenovi Hawkingovi v 70.letech. Několika nezávislými postupy spočetl,
že černá díra není úplně černá, ale že se vypařuje, ačkoliv velmi pomalu,
a nalezl tak cestu
k jedinému rozumnému vysvětlení zdánlivého paradoxu.
Vypařování černé díry lze vysvětlit mnoha způsoby, které jsou ve
skutečnosti ekvivalentní. Všechna tato vysvětlení mají ale něco společné:
využívá se v nich toho, že v našem světě existuje jak gravitace (a černé
díry), tak kvantová mechanika, dva pilíře dnešního fyzikálního obrazu
světa, které jsou (jak se dnes zdá) slučitelné pouze na půdě teorie
superstrun. Z černé díry se může vypařit cokoliv, většinou nějaký ten
foton, elektron, pozitron, mnohem méně často i televizor PANASONIC.
Jedno vysvětlení spočívá v tom, že částice uvězněná v černé díře má
alespoň trochu přesně určenou polohu. Aby byla uvězněna, musí být
neurčitost její polohy menší než zhruba poloměr černé díry. Pak ale podle
kvantové mechaniky musí mít alespoň trochu neurčitou hybnost, protože
delta(x).delta(p)>=Planckova konstanta,
jak nás naučil Werner Heisenberg. Neurčitost hybnosti ale znamená, že
částice má přece jenom tendenci vylétnout ven. Přesnejší výpočet ukáže, že
černá díra se vypařuje tím rychleji, čím je menší, protože delta(p) je pak
větší, a spektrum záření se shoduje se spektrem záření černého tělesa,
jehož teplota odpovídá povrchové gravitaci na horizontu černé díry (to je
ta plocha, za kterou už není návratu). Velká černá díra se vypaří až za
řekněme 10^{100} let.
Ekvivalentně můžeme říci, že virtuální páry elektron-pozitron, které podle
kvantové teorie pole jakýmsi myšleným způsobem neustále vznikají a
zanikají v prostoru, u povrchu černé díry mohou vzniknout, ale díky tomu,
že jedna ze zrozených částic spadne dovnitř a druhá vyletí ven, už nikdy
nemohou zanihilovat. Tento zrod páru v blízkosti černé díry již pak není
myšleným, nýbrž reálným efektem, tudíž z povrchu černé díry musí nějaké
částice vylétat.
Spolu s Rusem Bekensteinem si Hawking už v 70. letech uvědomil, že černá
díra má nejen teplotu, odpovídající povrchové gravitaci, ale že musí mít i
entropii, která se rovná v Planckových jednotkách (kde je
c=hbar=G_Newton=1) čtvrtině velikosti povrchu horizontu černé díry.
Bekenstein vycházel z toho,
že povrch
černé díry, která vznikne
spojením dvou děr, není nikdy menší než součet povrchů
oněch dvou děr, což pripomíná druhý termodynamický zákon
a entropii, zatímco Hawking zkoumal kvantové jevy kolem černé díry
v semiklasické aproximaci kvantové gravitace.
Tím ale teoreticky vyřešili paradox ztráty informace,
protože černá díra představuje také určitou entropii (nepořádek), která je
rovnoměrně rozptýlena po jejím povrchu.
Mikroskopická struktura černých děr
Lidé se snažili dvacet let o mikroskopický popis toho, proč má černá díra
entropii a další termodynamické vlastnosti, ovšem úspěchy se začaly
dostavovat až v roce 1995 díky nové větvi teorie superstrun, tzv. teorii
Dirichletových brán, krátce D-brán, což jsou objekty libovolné dimenze,
které jsou definovány tím, že na nich mohou končit struny. Rozmach teorie
D-brán je spojen se jménem Joe Polchinskiho. Vysvětlení entropie černých
děr z teorie D-brán bylo dalším z fatálních důkazů pro názor, že teorie
superstrun je jediným kandidátem na fungující kvantovou teorii obsahující
gravitaci.
Obrázek. Černá díra podle Vafy a Stromingera
vypadá na krátkých vzdálenostech a při slabé
vazebné konstantě jako soustava D1-brán, D5-brán
a otevřených strun, které jsou na D-brány připojeny konci.
...prosim prelozte obrazek do cestiny: slaba vazba, silna
vazba, otevrena struna, D1-bra'na, D5-bra'na, cerna dira...
Černá díra se pak při malé hodnotě vazebné konstanty jeví
jako soustava vibrujících jednorozměrných smyček
(strun) a objektů rozmanitých dimenzí (brán), na kterých se mohou struny
zachytit svými konci, přičemž ze zorného úhlu dlouhých vzdáleností se
takový objekt chová stejně jako klasická černá díra. Počet mikrostavů,
které vypadají jako černá díra s danou metrikou, se pak shoduje s
předpovědí Hawkinga a Bekensteina.
V průkopnické práci spočítal
Cumrun Vafa a Andrew Strominger entropii
extrémní černé díry v pětirozměrném časoprostoru.
Dnes věc pokročila a bylo propočteno mnoho dalších
černých děr, nejprve téměř extrémních, poté ale také
Schwarzschildových.
Obrázek. Vypařování černé díry lze při slabé vazebné konstantě
znázornit jako odtrhávání uzavřených strun z otevřených strun.
Vypadá to tedy tak, že stupně volnosti - jakési základní částice, které
tvoří svět (a také v této souvislosti nazývané "bity" nebo "partony") -
jsou v případě černé díry rozptýleny po povrchu, jelikož entropie černé
díry (kterou lze interpretovat jako veličinu úměrnou počtu stupňů
volnosti neboli logaritmu počtu možných konfigurací)
je úměrná jejímu povrchu, jak jsme řekli. Toto chování
kontrastuje s obvyklou zkušeností, kdy je entropie jako extenzivní
veličina úměrná objemu. Zároveň černá díra představuje těleso, v němž je
entropie soustředěna nejefektivnějším způsobem: plocha jejího horizontu
je nejmenším možným povrchem oblasti, ve které se hmota s danou entropií
může vyskytovat. To nás vede stejně jako holandského fyzika Gerarda 't
Hoofta a amerického fyzika a komika Lennyho Susskinda k domněnce, že
všechny stupně volnosti, v nichž je uložena informace o všem na světě, se
dají jakýmsi způsobem lokalizovat na povrch prostoru, v němž žijí!
Představme si nyní ohromně velkou (tj. velmi těžkou) černou díru. Je tak
velká, že její povrch se nám jeví skoro jako rovina. Ovšem v blízkosti
jejího horizontu platí úplně obyčejné zákony fyziky. Konkrétně, pokud se
necháme vtahovat po parabole do černé díry, ve volně padající soustavě se
nám budou všechny jevy zdát stejné jako ve stavu beztíže (i slapové síly
jsou malé díky malému zakřivení povrchu). Tohle nás učí Einsteinův princip
ekvivalence.
Pak ale lokálním měřením nemůžeme zjistit, jestli jsme už za horizontem
nebo nikoliv. Přesto si díky argumentu o úměře mezi plochou horizontu
černé díry a její entropií můžeme představit, že všechny naše stupně
volnosti jsou soustředěny na horizont. Celá situace je velmi podobná
hologramu, protože plocha udržuje informaci o celém prostoru - a díky tomu
se onomu principu říká holografický.
Díky principu ekvivalence, jak jsme řekli, musí tento princip přírody
platit pro jakýkoliv fyzikální systém, nejen pro černou díru, protože
dynamika jakéhokoliv fyzikálního systému vypadá úplně stejně jako dynamika
systému padajícího do ohromné černé díry. Jsme tudíž vedeni k názoru, že
všechny stupně volnosti jsou naskládány na dvojrozměrnou rovinu. Volba
této roviny samozřejmě může být v obecném fyzikálním systému libovolná a
nesmí ovlivnit fyzikální předpovědi.
Druhá superstrunná revoluce
V době těchto nových objevů (od roku 1995 po dnešek) zároveň probíhala
nová revoluce v teorii superstrun, odstartovaná objevem tzv. dualit, které
ukázaly, že všechny "různé teorie superstrun", jak se dříve říkalo, jsou
jen poruchovými rozvoji jedné a téže teorie kolem různých bodů. Poeticky
řečeno, fyzici v osmdesátých letech studovali zvíře ploché a tenké, pak
pro změnu sloup s drsným povrchem, jindy zase zvíře - velký měch visící ve
vzduchu a poté zase zvíře ve tvaru tenkého hada nebo provázku visícího z
hůry. Ale až v devadesátých letech vyšlo najevo, že existuje jen jeden
slon, ze kterého lze z určitých míst vidět jen placaté uši (teorie strun
typu I), bytelné nohy (heterotická E_8 x E_8 teorie), velké břicho
(heterotická SO(32) teorie), chobot (struny typu IIA) nebo ocásek (struny
typu IIB). A ještě navíc ten slon má kly (jedenáctirozměrná
supergravitace), kterými občas z legrace nabere ty teoretiky strun, kteří
se dívali s despektem na supergravitaci jen proto, že neobsahuje struny.
Lidé se totiž zároveň poučili, že struny jsou jen první mezi rovnými
(jelikož připouštějí poruchový rozvoj), ovšem podobně důležité jsou pro
onu teorii i objekty všech ostatních dimenzí, tzv. brány nebo p-brány, kde
p značí dimenzi.
Konkrétně se ukázalo, že heterotická SO(32) teorie s vazebnou konstantou g
je ekvivalentní teorii typu I (která má stejnou kalibrační grupu) s
vazebnou konstantou 1/g; tomuto vztahu dvou teorií se říká S-dualita.
(Kromě toho mohou být dvě teorie T-duální; pak je svinutí jedné
na varietu o typickém rozměru R ekvivalentní svinutí druhé na varietu
typického rozměru 1/R.)
Podobně teorie typu IIB je S-samoduální. Toto vysvětluje chování tří
superstrunných teorií z pěti při velkém g. Chování zbývajících dvou
přineslo překvapení. Edward Witten (pravděpodobně nejuznávanější odborník
v teorii superstrun) nejprve ukázal, že teorie typu IIA pro velké g
vytváří novou, jedenáctou souřadnici, svinutou na kružnici o obvodu
úměrném g^{2/3}. Limitou pro nekonečné g je tedy teorie v
jedenáctirozměrném časoprostoru. Tato magická teorie se nazývá M-teorie a
její nízkoenergetickou limitou je jedenáctirozměrná supergravitace.
Největší oříšek, chování heterotické E_8 x E_8 teorie, se dočkal
vysvětlení až ve slavném článku Edwarda Wittena a našeho krajana Petra
Hořavy. Autoři ukázali, že také tato teorie vytváří jedenáctou souřadnici,
jejíž délka je úměrná g^{2/3}, ovšem tato souřadnice má tvar nikoliv
kružnice, ale úsečky. Heterotická E_8 x E_8 teorie je tedy ekvivalentní
M-teorii na pásu jedenáctirozměrného časoprostoru, přičemž každý ze dvou
faktorů E_8 kalibrační grupy žije na jedné ze dvou hranic tohoto
pásovitého světa.
Maticová teorie
V říjnu 1996 spatřila světlo světa takzvaná M(aticová) teorie - což je
realizace dlouho *M*ysteriózní a *M*agické teorie nazvané M-teorie
Edwardem Wittenem,
obsahující dvojrozměrné *M*embrány (tato tři slova hrála roli
pro vznik názvu *M*-teorie), pomocí *M*aticových *M*odelů.
Doklady
existence M-teorie se hromadily po dlouhou dobu, ale lidé o M-teorii
věděli dlouho jen pár věcí, například že v limitě nízkých energiích
přechází na jedenáctirozměrnou supergravitaci, což je nejkrásnější
supersymetrické rozšíření Einsteinovy obecné teorie relativity. Příroda
měla přichystáno překvapení: jedno z hlavních odůvodnění písmena "M",
totiž "maticové modely", si lidé uvědomili až rok po zrodu názvu M-teorie.
M(aticová) teorie je explicitním modelem ilustrujícím holografický
princip.
Výklad M(aticové) teorie nebo jiných aspektů teorie superstrun by si
zasloužil rozsáhlý text, ale řekněme alespoň pár slov, které bohužel nutně
sníží srozumitelnost článku. Hamiltonián tohoto kvantově mechanického
modelu je velmi jednoduchý (maximálně supersymetrická Yang-Millsova teorie
s grupou U(N) v 9+1 dimenzích redukovaná do 0+1 dimenzí) a popisuje N
základních částic, zvaných "D0-brány". Každá D0-brána nese jednu jednotku
hybnosti ve směru kolmém na plochu, do níž chceme uložit informaci.
Fyzikální systém s 9 páry matic X,P rozměru N krát N (a jejich 16
antikomutujícími partnery, které však pro jednoduchost zanedbejme),
jejichž maticovými elementy jsou operátory
(x^i)_mn, (p^i)_mn, i=1...9, m,n=1..N,
[(x^i)_kl, (p^j)_mn] =
i.hbar.delta^ij.delta_kn.delta_lm
na Hilbertově prostoru, tedy popisuje sektor stavů M-teorie s hybností N/R
ve směru zvolené dimenze x^-. Tato dimenze je právě oním směrem kolmým ke
zvolené rovině "hologramu". Zanedbáme-li fermionové souřadnice a
konstantní koeficienty, hamiltonián vypadá takto:
H=Tr {(P_i)^2+(i[X_i,X_j])^2}
Termín "D0-brány" čti "dé-nula-brány", slovo "brána" vzniklo useknutím
"mem" ze slova "membrána". Nula označuje počet prostorových dimenzí
D-brány, 0-brána je tedy částice, 1-brána je "struna", 2-brána je membrána
atd. D-brány neboli Dirichletovy brány jsou zvláštní (ale asi
nejdůležitější) třídou brán a nesou jméno podle Dirichletových okrajových
podmínek pro souřadnice na koncích strun, které na D-bránách mohou
končit.
Souřadnice těchto N D0-brán netvoří uspořádanou N-tici, jak jsme zvyklí,
ale celou matici N krát N, která odpovídá vektorovému potenciálu v
Yang-Millsově teorii s grupou U(N). Pokud jsou D0-brány daleko od sebe,
matici lze s velkou přesností diagonalizovat (vlnová funkce je
zanedbatelná v bodě odpovídajícím klasické konfiguraci silně
nekomutujících matic díky potenciálnímu členu v hamiltoniánu -Tr
[X_i,X_j]^2) a diagonální elementy nám říkají, jaké jsou klasické polohy
těchto "částic". Čísla mimo diagonálu ve skutečnosti nejsou přesně nulová,
ale mohou kolem nuly fluktuovat a tyto fluktuace (virtuální efekty
nediagonálních elementů matic, které jsou dimenzionální redukcí W-bosonů,
ovšem v kontextu maticového modelu jsou nelokálními veličinami)
zodpovídají za všechny interakce mezi D0-bránami.
Ovšem matic souřadnic těchto D0-brán je o jednu méně, než je prostorových
souřadnic (konkrétně je jich jen devět). Přesto tato teorie popisuje dění
v původním prostoru, který má deset prostorových dimenzí a jednu časovou
(celkem jedenáct). Jedna D0-brána má pozici v posledním desátém
prostorovém směru zcela neurčitou. Ovšem pokud máme D0-brán velké
množství, můžeme do jejich počtu pomocí Fourierových řad zakódovat i
poslední souřadnici. Reálný časoprostor má dimenze čtyři, tedy o sedm méně
než nejjednodušší maticový model M-teorie, který popisuje
jedenáctirozměrný časoprostor, ale to nehraje zásadní roli v chápání
podstaty teorie.
To znamená, že důvod, proč se vám zdá, že jako trojrozměrní lidé sedíte na
trojrozměrné židli - a nikoliv že jste nakresleni na dvojrozměrnou plochu
tabule - je jen v tom, že se skládáte z velkého množství D0-brán!
Holografický princip M(aticová) teorie ukazuje na mnoha místech, například
v tom, že příčná velikost objektu složeného z D-brán roste tak, že celková
"plocha" (v případě M-teorie 9-rozměrná) je úměrná počtu D-brán. Také
výpočty vlastností černých děr v M(aticové) teorii podporují tento
pohled.
Závěr
Jako shrnutí těchto odstavců lze říci, že v posledních letech dochází k
nové revoluci v našem chápání času a prostoru. Před očima fyziků se rýsuje
obraz velmi hluboké matematické struktury, která sjednocuje a zobecňuje
obecnou kovarianci a lokální kalibrační invarianci známou z teorie pole.
Geometrie je jen jedním z možných řešení, které tato struktura připouští,
a má smysl jen na vzdálenostech
větších než Planckova délka.
Každý týden spatří světlo světa desítky článků, přinášejících
potvrzení mnoha netriviálních hypotéz o vztahu mezi teoriemi
strun a různými teoriemi pole, relevantními pro M-teorii.
Například v posledních
měsících se těží mnoho závěrů
z hypotézy Juana Maldaceny, že superkonformní teorie pole
s velkým přirozeným parametrem N
jsou
ekvivalentní M-teorii na anti de Sitterově prostoru.
Navzdory
velkým úspěchům v chápání matematické struktury a dílčím úspěchům ve
fenomenologii nikdo netuší, kolik dalších revolucí budou muset teoretici
projít, než vysvětlí zásadní otázku, totiž proč se náš svět chová právě
tak, jak se chová.
Luboš Motl