Hologram, jak jiste vite, je dvojrozmerny obrazek, ktery
kdyz osvitime laserem, spatrime krasny trojrozmerny objekt, ktery jako by
vystupoval za rovinou obrazku. Objekt si pritom muzeme prohlizet ze vsech
stran. Holografii vymyslel madarsky fyzik Dennis Gabor v roce 1948, v
dobe, kdy pracoval s elektronovymi mikroskopy. Hologram se vyrabi hrube
receno tak, ze paprsek laseru rozdvojime a cast jeho energie nechame
odrazet od zobrazovaneho predmetu, cast nechame prichazet primo (ci pres
zrcadlo) na fotografickou desku. Oba takove paprsky na stinitku
interferuji (tj. jejich vlny se skladaji) a na filmu se vytvori struktura
tenkych prouzku, v nichz je ulozena informace o fazi svetla, ackoliv onoho
hezkeho medvidka v tech prouzcich asi nespatrime. Osvicenim se pak
rekonstruuji podobne paprsky, ktere obraz vytvorily. Pritom staci jen
stripek hologramu, abychom mohli videt cely obrazek, byt v horsi kvalite
(v nizsim rozliseni).
To ale neni tema, o kterem chci mluvit. Chci neco rici o v mnohem podobnem
principu v nejmodernejsi fyzice. Dale budu mluvit o cernych dirach a
podobnych tercich zajmu dnesnich teoretickych fyziku, ackoliv zavery maji
univerzalni platnost.
Cerne diry
Cerna dira je popularne receno kulovy objekt, ktery ma gravitaci tak
silnou, ze ani svetlo neni dostatecne rychle na to, aby z cerne diry mohlo
uniknout. Proto se nam jevi cerna. Existenci cernych der si uvedomili
fyzici az v sedesatych letech (a John Wheeler jim dal tento pornograficky
nazev v roce 1971), ackoliv relevantni Schwarzschildovo reseni
Einsteinovych rovnic gravitace je znamo uz
od detskych dni obecne teorie
relativity, tj. od roku 1916. Je zajimave, ze Einstein sam byl dlouho
presvedcen, ze jeho obecnou relativitu nelze aplikovat tak daleko, aby se
toto reseni dalo interpretovat fyzikalne. Myslil si, ze v realne situaci
jakasi dalsi sila, ktera obecnou relativitu presahuje, zabrani zhrouceni
hvezdy do cerne diry. V poslednich letech se vsak hromadi experimentalni
doklady cernych der, ba i domnenky, ze uprostred nasi vlastni galaxie sedi
obri cerna dira.
Pokud se nam majetek nebo rodina
gravitacne
zhrouti do cerne diry, jedine, co po nich
zbude, je podil na
cerne dire, ktera je uplne popsana jen celkovou hmotnosti,
elektrickym nabojem a momentem hybnosti.
Tomu, ze tyto tri parametry
jednoznacne popisuji cernou diru, se rika "no-hair theorem" tj. "teorem o
plesatosti cerne diry". Ano, je to tak, cerna dira nema vlasy. Jakmile se
cerna dira s danou hodnotou techto velicin ustali, vypada vzdycky uplne
stejne: obycejna plesata cerna dira.
Termodynamika a vyparovani cernych der
Ovsem z hlediska termodynamiky je takovy zaver absurdni, protoze s rustem
cerne diry klesa entropie, tj. mira neusporadanosti soustavy, coz je v
rozporu s druhym termodynamickym zakonem: mame-li hodne odpadku, ktere
jsou hodne v neporadku, maji vysokou miru entropie, ovsem pokud je
nahazime do cerne diry, vznikne nam usporadany objekt, ktery ma entropii
nulovou, protoze naivne videno existuje jen jeden stav, ktery presne
popisuje cernou diru. Cerna dira nema podle obecne teorie relativity
mikroskopickou strukturu.
Tomuto paradoxu se rika "information loss paradox", paradox ztraty
informace. Podobne uvahy vrtaly hlavou vedecke superhvezde dnesniho sveta
Stephenovi Hawkingovi v 70.letech. Nekolika nezavislymi postupy spocetl,
ze cerna dira neni uplne cerna, ale ze se vyparuje, ackoliv velmi pomalu,
a nalezl tak cestu
k jedinemu rozumnemu vysvetleni zdanliveho paradoxu.
Vyparovani cerne diry lze vysvetlit mnoha zpusoby, ktere jsou ve
skutecnosti ekvivalentni. Vsechna tato vysvetleni maji ale neco spolecne:
vyuziva se v nich toho, ze v nasem svete existuje jak gravitace (a cerne
diry), tak kvantova mechanika, dva pilire dnesniho fyzikalniho obrazu
sveta, ktere jsou (jak se dnes zda) slucitelne pouze na pude teorie
superstrun. Z cerne diry se muze vyparit cokoliv, vetsinou nejaky ten
foton, elektron, pozitron, mnohem mene casto i televizor PANASONIC.
Jedno vysvetleni spociva v tom, ze castice uveznena v cerne dire ma
alespon trochu presne urcenou polohu. Aby byla uveznena, musi byt
neurcitost jeji polohy mensi nez zhruba polomer cerne diry. Pak ale podle
kvantove mechaniky musi mit alespon trochu neurcitou hybnost, protoze
delta(x).delta(p)>=Planckova konstanta,
jak nas naucil Werner Heisenberg. Neurcitost hybnosti ale znamena, ze
castice ma prece jenom tendenci vyletnout ven. Presnejsi vypocet ukaze, ze
cerna dira se vyparuje tim rychleji, cim je mensi, protoze delta(p) je pak
vetsi, a spektrum zareni se shoduje se spektrem zareni cerneho telesa,
jehoz teplota odpovida povrchove gravitaci na horizontu cerne diry (to je
ta plocha, za kterou uz neni navratu). Velka cerna dira se vypari az za
rekneme 10^{100} let.
Ekvivalentne muzeme rici, ze virtualni pary elektron-pozitron, ktere podle
kvantove teorie pole jakymsi myslenym zpusobem neustale vznikaji a
zanikaji v prostoru, u povrchu cerne diry mohou vzniknout, ale diky tomu,
ze jedna ze zrozenych castic spadne dovnitr a druha vyleti ven, uz nikdy
nemohou zanihilovat. Tento zrod paru v blizkosti cerne diry jiz pak neni
myslenym, nybrz realnym efektem, tudiz z povrchu cerne diry musi nejake
castice vyletat.
Spolu s Rusem Bekensteinem si Hawking uz v 70. letech uvedomil, ze cerna
dira ma nejen teplotu, odpovidajici povrchove gravitaci, ale ze musi mit i
entropii, ktera se rovna v Planckovych jednotkach (kde je
c=hbar=G_Newton=1) ctvrtine velikosti povrchu horizontu cerne diry.
Bekenstein vychazel z toho,
ze povrch
cerne diry, ktera vznikne
spojenim dvou der, neni nikdy mensi nez soucet povrchu
onech dvou der, coz pripomina druhy termodynamicky zakon
a entropii, zatimco Hawking zkoumal kvantove jevy kolem cerne diry
v semiklasicke aproximaci kvantove gravitace.
Tim ale teoreticky vyresili paradox ztraty informace,
protoze cerna dira predstavuje take urcitou entropii (neporadek), ktera je
rovnomerne rozptylena po jejim povrchu.
Mikroskopicka struktura cernych der
Lide se snazili dvacet let o mikroskopicky popis toho, proc ma cerna dira
entropii a dalsi termodynamicke vlastnosti, ovsem uspechy se zacaly
dostavovat az v roce 1995 diky nove vetvi teorie superstrun, tzv. teorii
Dirichletovych bran, kratce D-bran, coz jsou objekty libovolne dimenze,
ktere jsou definovany tim, ze na nich mohou koncit struny. Rozmach teorie
D-bran je spojen se jmenem Joe Polchinskiho. Vysvetleni entropie cernych
der z teorie D-bran bylo dalsim z fatalnich dukazu pro nazor, ze teorie
superstrun je jedinym kandidatem na fungujici kvantovou teorii obsahujici
gravitaci.
Obrazek. Cerna dira podle Vafy a Stromingera
vypada na kratkych vzdalenostech a pri slabe
vazebne konstante jako soustava D1-bran, D5-bran
a otevrenych strun, ktere jsou na D-brany pripojeny konci.
...prosim prelozte obrazek do cestiny: slaba vazba, silna
vazba, otevrena struna, D1-bra'na, D5-bra'na, cerna dira...
Cerna dira se pak pri male hodnote vazebne konstanty jevi
jako soustava vibrujicich jednorozmernych smycek
(strun) a objektu rozmanitych dimenzi (bran), na kterych se mohou struny
zachytit svymi konci, pricemz ze zorneho uhlu dlouhych vzdalenosti se
takovy objekt chova stejne jako klasicka cerna dira. Pocet mikrostavu,
ktere vypadaji jako cerna dira s danou metrikou, se pak shoduje s
predpovedi Hawkinga a Bekensteina.
V prukopnicke praci spocital
Cumrun Vafa a Andrew Strominger entropii
extremni cerne diry v petirozmernem casoprostoru.
Dnes vec pokrocila a bylo propocteno mnoho dalsich
cernych der, nejprve temer extremnich, pote ale take
Schwarzschildovych.
Obrazek. Vyparovani cerne diry lze pri slabe vazebne konstante
znazornit jako odtrhavani uzavrenych strun z otevrenych strun.
Vypada to tedy tak, ze stupne volnosti - jakesi zakladni castice, ktere
tvori svet (a take v teto souvislosti nazyvane "bity" nebo "partony") -
jsou v pripade cerne diry rozptyleny po povrchu, jelikoz entropie cerne
diry (kterou lze interpretovat jako velicinu umernou poctu stupnu
volnosti neboli logaritmu poctu moznych konfiguraci)
je umerna jejimu povrchu, jak jsme rekli. Toto chovani
kontrastuje s obvyklou zkusenosti, kdy je entropie jako extenzivni
velicina umerna objemu. Zaroven cerna dira predstavuje teleso, v nemz je
entropie soustredena nejefektivnejsim zpusobem: plocha jejiho horizontu
je nejmensim moznym povrchem oblasti, ve ktere se hmota s danou entropii
muze vyskytovat. To nas vede stejne jako holandskeho fyzika Gerarda 't
Hoofta a americkeho fyzika a komika Lennyho Susskinda k domnence, ze
vsechny stupne volnosti, v nichz je ulozena informace o vsem na svete, se
daji jakymsi zpusobem lokalizovat na povrch prostoru, v nemz ziji!
Predstavme si nyni ohromne velkou (tj. velmi tezkou) cernou diru. Je tak
velka, ze jeji povrch se nam jevi skoro jako rovina. Ovsem v blizkosti
jejiho horizontu plati uplne obycejne zakony fyziky. Konkretne, pokud se
nechame vtahovat po parabole do cerne diry, ve volne padajici soustave se
nam budou vsechny jevy zdat stejne jako ve stavu beztize (i slapove sily
jsou male diky malemu zakriveni povrchu). Tohle nas uci Einsteinuv princip
ekvivalence.
Pak ale lokalnim merenim nemuzeme zjistit, jestli jsme uz za horizontem
nebo nikoliv. Presto si diky argumentu o umere mezi plochou horizontu
cerne diry a jeji entropii muzeme predstavit, ze vsechny nase stupne
volnosti jsou soustredeny na horizont. Cela situace je velmi podobna
hologramu, protoze plocha udrzuje informaci o celem prostoru - a diky tomu
se onomu principu rika holograficky.
Diky principu ekvivalence, jak jsme rekli, musi tento princip prirody
platit pro jakykoliv fyzikalni system, nejen pro cernou diru, protoze
dynamika jakehokoliv fyzikalniho systemu vypada uplne stejne jako dynamika
systemu padajiciho do ohromne cerne diry. Jsme tudiz vedeni k nazoru, ze
vsechny stupne volnosti jsou naskladany na dvojrozmernou rovinu. Volba
teto roviny samozrejme muze byt v obecnem fyzikalnim systemu libovolna a
nesmi ovlivnit fyzikalni predpovedi.
Druha superstrunna revoluce
V dobe techto novych objevu (od roku 1995 po dnesek) zaroven probihala
nova revoluce v teorii superstrun, odstartovana objevem tzv. dualit, ktere
ukazaly, ze vsechny "ruzne teorie superstrun", jak se drive rikalo, jsou
jen poruchovymi rozvoji jedne a teze teorie kolem ruznych bodu. Poeticky
receno, fyzici v osmdesatych letech studovali zvire ploche a tenke, pak
pro zmenu sloup s drsnym povrchem, jindy zase zvire - velky mech visici ve
vzduchu a pote zase zvire ve tvaru tenkeho hada nebo provazku visiciho z
hury. Ale az v devadesatych letech vyslo najevo, ze existuje jen jeden
slon, ze ktereho lze z urcitych mist videt jen placate usi (teorie strun
typu I), bytelne nohy (heteroticka E_8 x E_8 teorie), velke bricho
(heteroticka SO(32) teorie), chobot (struny typu IIA) nebo ocasek (struny
typu IIB). A jeste navic ten slon ma kly (jedenactirozmerna
supergravitace), kterymi obcas z legrace nabere ty teoretiky strun, kteri
se divali s despektem na supergravitaci jen proto, ze neobsahuje struny.
Lide se totiz zaroven poucili, ze struny jsou jen prvni mezi rovnymi
(jelikoz pripousteji poruchovy rozvoj), ovsem podobne dulezite jsou pro
onu teorii i objekty vsech ostatnich dimenzi, tzv. brany nebo p-brany, kde
p znaci dimenzi.
Konkretne se ukazalo, ze heteroticka SO(32) teorie s vazebnou konstantou g
je ekvivalentni teorii typu I (ktera ma stejnou kalibracni grupu) s
vazebnou konstantou 1/g; tomuto vztahu dvou teorii se rika S-dualita.
(Krome toho mohou byt dve teorie T-dualni; pak je svinuti jedne
na varietu o typickem rozmeru R ekvivalentni svinuti druhe na varietu
typickeho rozmeru 1/R.)
Podobne teorie typu IIB je S-samodualni. Toto vysvetluje chovani tri
superstrunnych teorii z peti pri velkem g. Chovani zbyvajicich dvou
prineslo prekvapeni. Edward Witten (pravdepodobne nejuznavanejsi odbornik
v teorii superstrun) nejprve ukazal, ze teorie typu IIA pro velke g
vytvari novou, jedenactou souradnici, svinutou na kruznici o obvodu
umernem g^{2/3}. Limitou pro nekonecne g je tedy teorie v
jedenactirozmernem casoprostoru. Tato magicka teorie se nazyva M-teorie a
jeji nizkoenergetickou limitou je jedenactirozmerna supergravitace.
Nejvetsi orisek, chovani heteroticke E_8 x E_8 teorie, se dockal
vysvetleni az ve slavnem clanku Edwarda Wittena a naseho krajana Petra
Horavy. Autori ukazali, ze take tato teorie vytvari jedenactou souradnici,
jejiz delka je umerna g^{2/3}, ovsem tato souradnice ma tvar nikoliv
kruznice, ale usecky. Heteroticka E_8 x E_8 teorie je tedy ekvivalentni
M-teorii na pasu jedenactirozmerneho casoprostoru, pricemz kazdy ze dvou
faktoru E_8 kalibracni grupy zije na jedne ze dvou hranic tohoto
pasoviteho sveta.
Maticova teorie
V rijnu 1996 spatrila svetlo sveta takzvana M(aticova) teorie - coz je
realizace dlouho *M*ysteriozni a *M*agicke teorie nazvane M-teorie
Edwardem Wittenem,
obsahujici dvojrozmerne *M*embrany (tato tri slova hrala roli
pro vznik nazvu *M*-teorie), pomoci *M*aticovych *M*odelu.
Doklady
existence M-teorie se hromadily po dlouhou dobu, ale lide o M-teorii
vedeli dlouho jen par veci, napriklad ze v limite nizkych energiich
prechazi na jedenactirozmernou supergravitaci, coz je nejkrasnejsi
supersymetricke rozsireni Einsteinovy obecne teorie relativity. Priroda
mela prichystano prekvapeni: jedno z hlavnich oduvodneni pismena "M",
totiz "maticove modely", si lide uvedomili az rok po zrodu nazvu M-teorie.
M(aticova) teorie je explicitnim modelem ilustrujicim holograficky
princip.
Vyklad M(aticove) teorie nebo jinych aspektu teorie superstrun by si
zaslouzil rozsahly text, ale rekneme alespon par slov, ktere bohuzel nutne
snizi srozumitelnost clanku. Hamiltonian tohoto kvantove mechanickeho
modelu je velmi jednoduchy (maximalne supersymetricka Yang-Millsova teorie
s grupou U(N) v 9+1 dimenzich redukovana do 0+1 dimenzi) a popisuje N
zakladnich castic, zvanych "D0-brany". Kazda D0-brana nese jednu jednotku
hybnosti ve smeru kolmem na plochu, do niz chceme ulozit informaci.
Fyzikalni system s 9 pary matic X,P rozmeru N krat N (a jejich 16
antikomutujicimi partnery, ktere vsak pro jednoduchost zanedbejme),
jejichz maticovymi elementy jsou operatory
(x^i)_mn, (p^i)_mn, i=1...9, m,n=1..N,
[(x^i)_kl, (p^j)_mn] =
i.hbar.delta^ij.delta_kn.delta_lm
na Hilbertove prostoru, tedy popisuje sektor stavu M-teorie s hybnosti N/R
ve smeru zvolene dimenze x^-. Tato dimenze je prave onim smerem kolmym ke
zvolene rovine "hologramu". Zanedbame-li fermionove souradnice a
konstantni koeficienty, hamiltonian vypada takto:
H=Tr {(P_i)^2+(i[X_i,X_j])^2}
Termin "D0-brany" cti "de-nula-brany", slovo "brana" vzniklo useknutim
"mem" ze slova "membrana". Nula oznacuje pocet prostorovych dimenzi
D-brany, 0-brana je tedy castice, 1-brana je "struna", 2-brana je membrana
atd. D-brany neboli Dirichletovy brany jsou zvlastni (ale asi
nejdulezitejsi) tridou bran a nesou jmeno podle Dirichletovych okrajovych
podminek pro souradnice na koncich strun, ktere na D-branach mohou
koncit.
Souradnice techto N D0-bran netvori usporadanou N-tici, jak jsme zvykli,
ale celou matici N krat N, ktera odpovida vektorovemu potencialu v
Yang-Millsove teorii s grupou U(N). Pokud jsou D0-brany daleko od sebe,
matici lze s velkou presnosti diagonalizovat (vlnova funkce je
zanedbatelna v bode odpovidajicim klasicke konfiguraci silne
nekomutujicich matic diky potencialnimu clenu v hamiltonianu -Tr
[X_i,X_j]^2) a diagonalni elementy nam rikaji, jake jsou klasicke polohy
techto "castic". Cisla mimo diagonalu ve skutecnosti nejsou presne nulova,
ale mohou kolem nuly fluktuovat a tyto fluktuace (virtualni efekty
nediagonalnich elementu matic, ktere jsou dimenzionalni redukci W-bosonu,
ovsem v kontextu maticoveho modelu jsou nelokalnimi velicinami)
zodpovidaji za vsechny interakce mezi D0-branami.
Ovsem matic souradnic techto D0-bran je o jednu mene, nez je prostorovych
souradnic (konkretne je jich jen devet). Presto tato teorie popisuje deni
v puvodnim prostoru, ktery ma deset prostorovych dimenzi a jednu casovou
(celkem jedenact). Jedna D0-brana ma pozici v poslednim desatem
prostorovem smeru zcela neurcitou. Ovsem pokud mame D0-bran velke
mnozstvi, muzeme do jejich poctu pomoci Fourierovych rad zakodovat i
posledni souradnici. Realny casoprostor ma dimenze ctyri, tedy o sedm mene
nez nejjednodussi maticovy model M-teorie, ktery popisuje
jedenactirozmerny casoprostor, ale to nehraje zasadni roli v chapani
podstaty teorie.
To znamena, ze duvod, proc se vam zda, ze jako trojrozmerni lide sedite na
trojrozmerne zidli - a nikoliv ze jste nakresleni na dvojrozmernou plochu
tabule - je jen v tom, ze se skladate z velkeho mnozstvi D0-bran!
Holograficky princip M(aticova) teorie ukazuje na mnoha mistech, napriklad
v tom, ze pricna velikost objektu slozeneho z D-bran roste tak, ze celkova
"plocha" (v pripade M-teorie 9-rozmerna) je umerna poctu D-bran. Take
vypocty vlastnosti cernych der v M(aticove) teorii podporuji tento
pohled.
Zaver
Jako shrnuti techto odstavcu lze rici, ze v poslednich letech dochazi k
nove revoluci v nasem chapani casu a prostoru. Pred ocima fyziku se rysuje
obraz velmi hluboke matematicke struktury, ktera sjednocuje a zobecnuje
obecnou kovarianci a lokalni kalibracni invarianci znamou z teorie pole.
Geometrie je jen jednim z moznych reseni, ktere tato struktura pripousti,
a ma smysl jen na vzdalenostech
vetsich nez Planckova delka.
Kazdy tyden spatri svetlo sveta desitky clanku, prinasejicich
potvrzeni mnoha netrivialnich hypotez o vztahu mezi teoriemi
strun a ruznymi teoriemi pole, relevantnimi pro M-teorii.
Napriklad v poslednich
mesicich se tezi mnoho zaveru
z hypotezy Juana Maldaceny, ze superkonformni teorie pole
s velkym prirozenym parametrem N
jsou
ekvivalentni M-teorii na anti de Sitterove prostoru.
Navzdory
velkym uspechum v chapani matematicke struktury a dilcim uspechum ve
fenomenologii nikdo netusi, kolik dalsich revoluci budou muset teoretici
projit, nez vysvetli zasadni otazku, totiz proc se nas svet chova prave
tak, jak se chova.
Lubos Motl