S, T, U duality

Druhá superstrunná revoluce (1994-??) přinesla neporuchovou teorii strun na dosah. Prostředkem k tomuto pokroku byly zejména tzv. BPS stavy, zachovávající část supersymetrie a díky tomu chránící před kvantovými korekcemi (ať poruchovými nebo neporuchovými) mnoho svých vlastností. Klíčovými objevy byly úžasné a překvapivé ``duality''. Naučily nás, že to, co jsme dříve chápali jako pět různých teorií strun, jsou fakticky jen poruchové rozvoje jediné pod vším stojící teorie kolem pěti různých bodů! Je teď v podstatě jasné, že existuje jen jedna teorie, ačkoli asi připouští různá vakua. Kromě pěti zmíněných, šesté například vyplňuje 11-rozměrný Minkowského časoprostor. Další lekcí, kterou nám nové objevy přinesly, je důležitost objektů i jiné dimenze než 1. (Dvourozměrným se říká membrány a obecně p-rozměrným p-brány.) V mnoha aspektech jsou stejně podstatné jako struny (které teď lze nazývat také jedno-brány), pouze na nich nelze postavit poruchový rozvoj, pokud .

Každá ze zmíněných pěti teorií má bezrozměrnou vazebnou konstantu, podle které provádíme poruchový rozvoj. Struny se však liší tím, že její velikost je exponenciálou střední hodnoty určitého pole, zvaného dilaton. Proto napohled různé teorie (s různou vazebnou konstantou) jsou toutéž teorií s různou vakuovou hodnotou dilatonu. Rozměry a tvary svinutých dimenzí určují další podobná pole, tzv. moduli. V případě supersymetrické teorie jsou pravděpodobně povoleny všechny hodnoty, jakmile však supersymetrii narušíme, lze očekávat vznik potenciálu pro dilaton, který způsobí usazení vakua na konkrétní hodnotu (s minimem potenciálu).

Může se stát, že teorie A při silné vazbě je ekvivalentní teorii B při slabé vazbě (a naopak). Pak říkáme, že jsou teorie S-duální. Podobně, pokud svinutím teorie A na velkou varietu dostaneme teorii ekvivalentní jako svinutím B na malou varietu, máme co do činění s T-duálními teoriemi. Teorie A a B jsou U-duální, pokud se jedna při slabé (či silné) vazbě chová jako druhá svinutá na malou (či velkou) varietu. (Tahle definice U-duality se trochu liší od původně navržené, ovšem vystihuje její myšlenku.) Pokud duální teorie A,B jsou ekvivalentní, dualita se stane self-dualitou a lze ji nahlížet jako kalibrační symetrii.

Základní ideu T-duality, platící v každém řádu poruchové teorie a proto objevené už mezi oběma strunnými revolucemi, lze demonstrovat na nejjednodušším případě svinutí jedné dimenze na kružnici o poloměru R. Díky svinutí vzniknou dva nové typy excitací. Struna může mít kvantovaný impuls n/R ve směru svinuté dimenze, což je excitace známá už z obyčejných bodových Kaluza-Kleinových teorií. Tento impuls přispěje ke kvadrátu energie struny výrazem . Pro struny speciální excitací jsou obtáčecí módy: uzavřená struna totiž může m-krát ovinout kružnici. Toto obtáčení přidává ke čtverci energie , kde T je napětí struny . T-dualita vyměňuje tyto dva druhy excitací zobrazením a  . To je část přesného zobrazení mezi T-duálním párem A a B. Jedním důsledkem je, že na krátkých vzdálenostech běžná geometrie přestává pracovat a je nahrazena ``kvantovou geometrií'', matematicky popsanou 2D konformní teorií pole. Také nás vede k zobecnění Heisenbergovy relace neurčitosti, podle které je neurčitost větší než , ale také než strunné měřítko délky . Dva důležité příklady dvojic T-duálních teorií jsou IIA/IIB a HE/HO. (V posledním případě je ještě třeba přidat ``Wilsonovy čáry'', narušující symetrii.) Tyto dvojice jsou také ekvivalentní pro , což je další důvod, proč jsme je spojili v obrázku níže. Původní bosonová teorie strun v 26 rozměrech je T-samoduální, což se pro samoduální poloměr projeví zvětšením kalibrační grupy z  na .

Předpokládejme nyní, že teorie A,B jsou S-duální. Označuje-li vazebnou konstantu a f nějakou veličinu, znamená to, že . Tato dualita, jejíž rozpoznání tvořilo první krok druhé revoluce, zobecňuje elektro-magnetickou dualitu Maxwellových rovnic. Vtip je v tom, že Diracova kvantovací podmínka nutí magnetické náboje, aby byly celými násobky převrácené hodnoty kvanta elektrického náboje (při správné normalizaci), což je vazebná konstanta.

S-dualita svazuje teorii typu IIB se sebou samotnou a teorii typu I s teorií HO, obě mají kalibrační grupu SO(32). Tím je vysvětleno chování tří teorií z pěti při velkém . Teorie superstrun, dosud v pozici podobné jako teorie elementárních částic ve starých dobrých dobách (mnoho dat - tentokrát však teoretických - a žádná teorie) tak přináší známky hluboké struktury, na které stojí. Pochopení toho, jak se chovají při velkém zbývající dvě, přišlo jako velké překvapení. Věnujeme tomuto tématu odstavec.