next up previous contents index
Next: Řešení soustav rovnic a Up: První seznámení s předmětem Previous: První seznámení s předmětem

Gaussova eliminace

  Seznámíme se krátce s touto základní metodou řešení soustav lineárních rovnic. Soustavu m rovnic o n neznámých

displaymath47404

equation3957

displaymath47406

budeme zapisovat pomocí tabulky, tzv. matice (podrobněji budeme později mluvit o rozšířené matici soustavy)

equation3959

Vzpomeňme si nyní, jak jsme řešili soustavy dvou rovnic na střední škole: ``vypočítáme'' z 1.rovnice

equation3968

a dosadíme do dalších rovnic. V řeči matic to můžeme přehledněji vyjádřit takto (promyslete): odečteme vhodný násobek 1.řádku od ostatních řádků tak, abychom dostali novou, ``ekvivalentní'' matici (dávající soustavu se stejným řešením jako dříve), mající pod členem tex2html_wrap_inline47408 samé nuly.

equation3974

kde tex2html_wrap_inline47410 atd.

Pokud je tex2html_wrap_inline47412 , musíme postup modifikovat: přehodíme pořadí rovnic. Nelze-li ani takto docílit tex2html_wrap_inline47414 , tzn. celý první sloupec matice je nulový, můžeme zřejmě volit tex2html_wrap_inline47416 libovolně a fakticky potom řešíme pouze soustavu s maticí

equation3986

Analogicky pokračujeme dále - vynulováním sloupce pod tex2html_wrap_inline47418 (pokud lze docílit tex2html_wrap_inline47420 ; jinak volíme tex2html_wrap_inline47422 libovolně a tex2html_wrap_inline47416 na závěr vypočteme z první rovnice poté, co jsme určili tex2html_wrap_inline47426 ze zbývajících rovnic) atd. Uvedeným postupem dospějmeme nakonec k ``ekvivalentní'' matici (vedoucí k témuž řešení) tvaru (promyslete podrobněji, procvičte na konkrétních příkladech)

  equation3995

kde křížky tex2html_wrap_inline47428 označují zaručeně nenulové prvky - někdy zvané pivoty (jejichž přílišná malost by ovšem nepříznivě působila na numerickou přesnost výsledkugif), od nichž nalevo jsou samé nuly, stejně tak jako nalevo od škrtnutým trojúhelníkem označených prvků na pravé straně, takže je-li některý z prvků označených tex2html_wrap_inline47430 nenulový, soustava zřejmě nemá řešení. Jinak píšeme obecné řešení soustavy (1.6) a tedy i obecné řešení výchozí soustavy takto:

Nechť poslední řádek, v němž existuje nenulový člen, je v pořadí k-tý, nechť tex2html_wrap_inline47434 je příslušný pivot, tedy zleva první takovýto člen. (Nebudeme již psát další vlnovky.) Proměnné tex2html_wrap_inline47436 volíme nyní libovolně; proměnnou tex2html_wrap_inline47438 dopočteme z rovnice

equation4001

Další postup ``směrem nahoru'' je analogický, čtenář si ho zkusí promyslet sám! (Proměnné tex2html_wrap_inline47440 , u nichž se nikdy nevyskytne ``pivotní'' koeficient typu tex2html_wrap_inline47442 , libovolně volíme; ostatní proměnné tex2html_wrap_inline47440 postupně (pro klesající indexy) dopočítáváme z rovnic

equation4007

kde tex2html_wrap_inline47446 je ``pivotní'' koeficient.)


next up previous contents index
Next: Řešení soustav rovnic a Up: První seznámení s předmětem Previous: První seznámení s předmětem

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997