next up previous contents index
Next: Duální grafy a tělesa Up: Dualita Previous: Dualita

Duální grupa

 

Definice. Říkejme  charakter grupy (budeme mluvit jen o Abelových) každému jejímu homomorfismu do tex2html_wrap_inline47988 , multiplikativní grupy komplexních jednotek. Duální grupou pak nazveme množinu charakterů s operací násobení:

equation34635

Můžete ověřit, že duální grupa k  tex2html_wrap_inline47664 je opět ona (isomorfní jí), duální grupa k  tex2html_wrap_inline47668 je tex2html_wrap_inline47988 a naopak, duální grupa k  tex2html_wrap_inline47738 je zase isomorfní tex2html_wrap_inline47738 ; všechny charaktery mají tvar

equation34642

Po chvíli myšlení uvěříte, že charaktery direktního součinu cyklických grup jsou právě součiny charakterů těchto grup, a budete tak umět najít duální grupu k libovolné Abelově grupě podle poznámky na straně gif. To se vám bude hodit později v analýze při zkoumání Fourierových řad a transformací více proměnných.

Lze také definovat skalární součin komplexních funkcí na grupě (N je počet prvků neboli řád grupy)

equation34646

(pozn.: pro Lieovy grupy lze nahradit integrací ``podle rovnoměrné míry'', tzn. s vhodnou váhou takovou, aby na integrál neměla vliv substituce tex2html_wrap_inline55064 ).

Cvičení. Dokažte, že všechny charaktery cyklické grupy (ale i obecné konečné Abelovy grupy, viz větu o struktuře Abelových konečných grup) tvoří ortogonální basi prostoru komplexních funkcí na této grupě.



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997