next 
up previous contents index
Next: Duální normy Up: Dualita Previous: Duální grupa

Duální grafy a tělesa

Mluvit v kombinatorice o polyedrech a rovinných grafech je prakticky totéž. Máme-li rovinný graf, představíme si ho nalepen na kouli a hranám grafu budou ``po narovnání'' odpovídat hrany polyedru.

picture34655

Cvičení. Identifikujte polyedry, jejichž grafy vidíte na obrázku. Nakreslete odpovídající graf i pro třicetistěn ze strany 130.

( tex2html_wrap_inline47304 )  Nakreslíme-li si (kombinatorické) grafy Platónových těles (neboli nakreslíme-li bod za každý vrchol tělesa a pospojujeme-li body těch vrcholů, které jsou spojeny hranou) a jinou barvou vyznačíme do plošek tečky (i do nekonečné plošky okolí, odpovídající spodní stěně, dáme jednu) a pospojujeme ty tečky, plošky kterých sousedí stranou (nestačí vrcholem), získáme tak   duální grafy k původním. Zopakujeme-li operaci znovu, získáme výchozí graf.

Graf čtyřstěnu je samoduální, krychle je duální k osmistěnu (a naopak) a dvanáctistěn je duální k dvacetistěnu (a obráceně).

Hrubý popis říká, že těleso má tolik vrcholů, kolik má jeho duál stěn. Navíc duální tělesa mají stejný počet hran.

Kreslení grafů však není jediný způsob, kterak získávat duální tělesa. Mějme obrazec v rovině nebo těleso v prostoru, přesněji řečeno nějakou konvexní množinu bodů M, uvnitř které leží počátek souřadnic. Duální množinu bodů M' pak definujme jakogif

equation35838

Pokud lze získat M jako   konvexní obal nějaké menší podmnožiny P, tj.

equation35849

stačí text tex2html_wrap_inline55076 nahradit tex2html_wrap_inline55078 .



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997