next up previous contents index
Next: Duální prostory Up: Dualita Previous: Duální normy

Dualita v geometrii

 Asi jste už někdegif slyšeli, že existuje princip, podle něhož každou pravdivou větu o geometrii lze modifikovat tak, že tato modifikace bude také pravdivá, a získáme ji tak, že nahradíme slovo ``bod'' slovem ``rovina'' (vždy doplňte ``a naopak''), slovo přímka ponecháme beze změny, frázi ``body leží na přímce'' frází ``roviny se protínají v přímce'', ``průsečík tří rovin'' vyměníme za ``rovina, na níž leží tři body'' atd.

V případě rovinné geometrie vyměníme slova ``bod'' a ``přímka'', pojmy ``průsečík přímek'' a ``spojnice bodů'', fráze ``tři přímky se protínají v jednom bodě'' a ``tři body leží na přímce'' atd.

Abychom byli konkrétní, lze přiřadit bodu, přímce nebo roviněgif, jednotně množině bodů M, následující množinu M', to jest rovinu, přímku nebo bod

equation35928

(Dokažte, že jde opravdu o rovinu, přímku nebo bod a že duální objekt k duálnímu objetku je původní objekt.)

V dalším textu mluvme o rovinné geometrii. Schopnosti principu by byly slabé, pokud bychom si nevšimli například skutečnosti, že množina duálních přímekgif k bodům nějaké kuželosečky obsahuje právě tečny nějaké (další) kuželosečky (a naopak). (Dokažte.)

Teď již lze ukázat vztah mezi   Pascalovou a   Briančelovou větou.

Pascalova věta tvrdí, že pokud vybereme na kuželosečce nějakých šest bodů 1,2,3,1',2',3' a body A,B,C získáme jako průsečíky

equation35951

kde např. 23' znamená přímku spojující body 2 a 3', potom budou body A,B,C ležet na přímce.

Duální věta Briančelova tvrdí, že pokud narýsujeme šest tečen nějaké kuželosečky 1,2,3,1',2',3' a přímky A,B,C získáme jako spojnicegif

equation35953

kde např. 23' znamená průsečík přímek 2 a 3', potom se budou přímky A,B,C protínat v jednom bodě. ( tex2html_wrap_inline47306 )



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997