next up previous contents index
Next: Dualita a skalární součin Up: Dualita Previous: Dualita v geometrii

Duální prostory

Začátečník může mít pocit, že rozlišovat vektor např. v  tex2html_wrap_inline47328 a lineární formu na tex2html_wrap_inline47328 (což ``je'' opět pouhá n-tice čísel předepisujících hodnotu dané formy na vektorech kanonické base) je samoúčelné. Vyjasnění jakési dvojstranné symetrie (prostor tex2html_wrap_inline54712 prostor forem na něm tex2html_wrap_inline54712 původní prostor) - a právě to je obsahem pojmu dualita - dává důležitou informaci nejen v (pozdějších) konstrukcích analýzy a funkcionální analýzy resp. teoretické fysiky (dualismus ``vlna/částice'' sotva objevíte v elementárních konstrukcích níže, ale patří sem také), ale již nyní: přináší určitou systematisaci v náhledu na otázky typu:

``Proč je v jedné formuli tex2html_wrap_inline47308 nebo tex2html_wrap_inline47316 a v jiné tex2html_wrap_inline47310 nebo tex2html_wrap_inline55156 ? Proč se transformují jinak vektory a jinak jejich souřadnice? ...''

  Duálním prostorem k prostoru tex2html_wrap_inline48468 budeme rozumět prostor všech lineárních forem, to jest lineárních zobrazení, přiřazujících prvkům tex2html_wrap_inline48468 reálné nebo komplexní číslo, podle toho, nad jakým tělesem je sestrojen prostor tex2html_wrap_inline48468 . Budeme ho značit tex2html_wrap_inline52380 a podobně jeho vektory budeme obvykle psát s čárkou.

Sčítání a násobení konstantou z tělesa zde definujeme nejpřirozenějším způsobem:

equation35971

Terminologická poznámka. Odpovídající objekty duálu často označujeme předponou ``kontra''.  Naopak, pokud jsme již pojmenovali objekty ve tex2html_wrap_inline52380 a chceme označit odpovídající objekty tex2html_wrap_inline48468 , používáme předpony ``ko''. (Názvy kovektor, kontravektor užijeme v kapitole o tensorech.)

V této knize zvolená konvence horních a dolních indexů (přičemž index více vlevo (obvykle horní) nám vždy říká, o jakou jde řádku, a index vpravo (obvykle dolní), o kolikátý jde sloupec) pro svoji konsistenci přímo vybízí k tomu, abychom v duálním prostoru používali přesně opačný zápis proti prostoru původnímu (souřadnice duálního prostoru do řádky, značené tex2html_wrap_inline55170 ); neopomeneme však vždy poznamenat, co bychom získali, kdybychom krátkozrace psali vše stejně jako v prostoru původním.

Budeme tedy značit tex2html_wrap_inline55172 prvky duální  base k basi tex2html_wrap_inline50204 tak, že

equation36003

Můžeme tedy i-tou souřadnici vektoru tex2html_wrap_inline49094 vůči basi tex2html_wrap_inline55180 interpretovat jako hodnotu i-tého prvku duální base (jakožto formy) v bodě tex2html_wrap_inline49094 :

equation36015

Proč jde o basi.

equation36024

Poslední tvar tex2html_wrap_inline55186 lze jednoznačně přepsat vyjádřením tex2html_wrap_inline55188 jako tex2html_wrap_inline55190 .

Definice. Mějme lineární zobrazení tex2html_wrap_inline49454 . Nazvěme  duálním zobrazenímf

equation36050

Věta v různých konvencích. Nechť tex2html_wrap_inline47308 značí matici zobrazení f vůči basím tex2html_wrap_inline48798 resp. tex2html_wrap_inline48800 .

Používáme-li konvenci této knihy a píšeme-li souřadnice duálního vektoru do řádky, máme pro duální zobrazení touž matici vůči basím tex2html_wrap_inline55208 a tex2html_wrap_inline55210 jako pro původní zobrazení:

equation36075

Samozřejmě, pokud bychom psali souřadnice do sloupcegif i v duálním prostoru, bude mít zobrazení matici transponovanou, a proto budeme duálnímu zobrazení říkat také transponované: 

equation36084

V naší versi větě ihned uvěříte pohledem na

equation36094

Definice. Nechť tex2html_wrap_inline51346 je base tex2html_wrap_inline48468 , nechť tex2html_wrap_inline55218 je (duální) base tex2html_wrap_inline52380 a base tex2html_wrap_inline55222 duálnígif basí k  tex2html_wrap_inline55218 v prostoru tex2html_wrap_inline55226 . Potom ztotožnění

equation36123

dává tzv.   kanonický isomorfismus mezi tex2html_wrap_inline48468 a tex2html_wrap_inline55226 .

Toto ztotožnění je mnohem přirozenější a jednoznačnější, než ztotožnění mezi tex2html_wrap_inline48468 a tex2html_wrap_inline52380 , která zkoumáme dále!

Tvrzení. V tomto ztotožnění je f''=f.

Protějškem pojmu lineární forma je v analýze pojem funkce. V úvodu ke knize jsme konstatovali, že LA vyrostla ze zkoumání ``linearisovaných'' problémů analýzy a je užitečné se z tohoto hlediska podívat na některé základní věty analýzy funkcí více proměnných a obnažit jejich lineárně algebraické jádro. Udělejme si tedy toto malé odbočení k analýze.

Příklad. Ve tvrzení ``derivace ve směru je skalární součin směru a gradientu'' substituujeme za slova ``směr, funkce, derivace ve směru x, gradient'' slova ``vektor, forma, hodnota v x, representující vektor formy''. Dostáváme větu o representaci lineární formy -- zjednodušenou, lineární versi uvedeného tvrzení.

Cvičení. Identifikujte věty analýzy, jimž jsou následující tvrzení linearisovanou karikaturou.

Věta. Lineární forma tex2html_wrap_inline55242 nemůže být konstantní na tex2html_wrap_inline47328 pokud tex2html_wrap_inline55246 . Je-li však konstantní pro vektory, na nichž jsou konstantní jisté další formy tex2html_wrap_inline55248 , tex2html_wrap_inline55250 , tak existují multiplikátory  tex2html_wrap_inline55252 takové, že

equation36154

tex2html_wrap_inline47710 Věta. Komposici lineárních zobrazení odpovídá násobení matic.

tex2html_wrap_inline47710 Věta. Rovnici F(x,y)=const pro zobrazení F(x,y)=Ax+By lze řešit i v případě, že A,B,x,y,const jsou matice (vektory) správného rozměru; pokud tex2html_wrap_inline55264 existuje, tak

equation36165

Jak již bylo poznamenáno, nahradíme-li ve větách analýzy slovo ``funkce'' slovem ``lineární forma'' (tedy linearisujeme-li problém; linearisace je synonymem vzetí diferenciálu), dostáváme jednoduchá tvrzení LA, která přitom vyjadřují podstatu uvedených vět. Pro úplnost uveďme ještě jedno tvrzení z teorie kvadratických forem (které teprve budou probírány níže):

tex2html_wrap_inline47710 Věta. Kvadratické formě odpovídá symetrická matice (a co matice druhých parciálních derivací?).

V analýze nás ani nenapadne plést si body prostoru tex2html_wrap_inline47328 a funkce na nich definované (těch je trochu více). V lineární algebře máme místo bodů vektory, místo funkcí formy. Neměl by nás mást (v této zjednodušené situaci) fakt, že dimense vektorového prostoru a jeho duálu (prostoru forem) jsou stejné a že máme větu o representaci (díky existenci skalárního součinu a euklidovské metriky na tex2html_wrap_inline47328 ).

Změna duální base. Pokud je tex2html_wrap_inline49548 matice přechodu od base tex2html_wrap_inline55274 k basi tex2html_wrap_inline48800 , tj.

equation36184

potom lze vyjádřit vztah mezi duálními basemi formulígif

equation36196

{Lehce se o tom přesvědčíte, pokud zapíšete (násobením prvků tex2html_wrap_inline55212 krát tex2html_wrap_inline52424 teď myslíme tex2html_wrap_inline55284 )

equation36225

Jestliže (proti konvencím této knihy) budeme psát jednotlivé prvky duální base vedle sebe (tak jako v původní basi), bude matice přechodu od base tex2html_wrap_inline55286 k basi tex2html_wrap_inline55208 dána tzv.   kontragradientní maticí k matici tex2html_wrap_inline49548 , totiž tex2html_wrap_inline55292 :

equation36271


next up previous contents index
Next: Dualita a skalární součin Up: Dualita Previous: Dualita v geometrii

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997