next up previous contents index
Next: Dualita ve funkcionální analýze Up: Dualita Previous: Duální prostory

Dualita a skalární součin

V této sekci nebudeme dualisovat daný skalární součin na tex2html_wrap_inline48468 , nýbrž užijeme tohoto skalárního součinu ke ztotožnění tex2html_wrap_inline48468 a tex2html_wrap_inline52380 .

  Věta o representaci. Nechť tex2html_wrap_inline55300 je skalární součin na tex2html_wrap_inline48468 . Potom pro každý prvek tex2html_wrap_inline55304 existuje jednoznačně určený representující vektor  tex2html_wrap_inline49384 takový, že

equation36296

Důkaz. Nechť tex2html_wrap_inline55310 je nulový prostor tex2html_wrap_inline55188 , nechť tex2html_wrap_inline55314 (mimo jiné, tex2html_wrap_inline55316 je jednorozměrný). Pak lze volit tex2html_wrap_inline49152 tak, aby tex2html_wrap_inline55320 , a tak forma

equation36327

má stejný nulový prostor jako tex2html_wrap_inline55188 , navíc obě formy nabývají stejné hodnoty i pro tex2html_wrap_inline49152 , takže obě formy jsou totožné i na tex2html_wrap_inline55326 ).

Definice. Nechť je na tex2html_wrap_inline48468 definován skalární součin tex2html_wrap_inline55300 . Definujme zobrazení tex2html_wrap_inline55332 (nepleťte se ztotožněním tex2html_wrap_inline48468 a tex2html_wrap_inline55226 ) vztahem

equation36352

Toto zobrazení (tvrdíme) je  antilineární (``anti'' kvůli tomu pruhu), tzn.

equation36363

Nebylo by správné hledat ztotožnění pomocí výrazu tex2html_wrap_inline55338 místo tex2html_wrap_inline55340 , poněvadž tex2html_wrap_inline55342 by pak nebyla lineární forma (ale antilineární).

Speciálně, máme-li ortonormální basi, přiřadí zobrazení j prvku base přímo příslušný prvek duální base.

Důležitou modifikací transponovaného zobrazení pro případ komplexního skalárního součinu s pruhem je   adjungované (hermitovsky sdružené) zobrazení.

Definice. Označíme jím zobrazení

equation36400

Toto zobrazení má v téže basi adjungovanou neboli hermitovsky sdruženou (viz důkaz níže) matici:gif   

equation36425

Důkaz. Nechť je tex2html_wrap_inline48492 ortogonálnígif base tex2html_wrap_inline48468 , nechť tex2html_wrap_inline55352 je adjungovaný operátor k  tex2html_wrap_inline49492 , kde tex2html_wrap_inline55342 je definováno (ve větě o representaci) vztahem tex2html_wrap_inline55358 .

Těm, kterým vztah tex2html_wrap_inline55352 působí bolesti hlavy (což může být v určité konstelaci i autor těchto řádek), připomínáme, že je to totéž jako vztah

equation36459

Vskutku,

equation36477

úprava na zlomu řádky platí právě když tex2html_wrap_inline55362 , což je to samé jako tex2html_wrap_inline55352 .

Je-li tex2html_wrap_inline55366 , tex2html_wrap_inline55368 , tak

equation36517

čímž je důkaz tex2html_wrap_inline55370 hotov.

(Znovu připomínáme, že pro smysluplnost adjunkce je nutná existence skalárního součinu, který má za následek, že se indexy v rovnostech nevyskytují ve všech členech ve stejné výšce.)

Tvrzení. Podobně jako u duálního zobrazení,

equation36576

Důkaz je zřejmý, vyjádříme-li zobrazení maticí vůči nějaké ortonormální basi. Obecněji,

equation36581

Poznámka o takzvané formální adjunkci.

V souvislosti se známým vzorcem ``per partes'' se často mluví o tzv. ``formální adjunkci'' operátoru. Jde o to, že ``zapomeneme-li hranaté závory'', můžeme tento vzorec interpretovat tak, že operátor minus derivace je adjunkcí k operátoru derivace! Slovo ``formální'' se používá právě v souvislosti s oním ``zapomenutím''. Podobně i pro operátory derivace vyšších řádů. Uvidíme později, že (z nejrůznějších důvodů) se na vhodných prostorech funkcí kupodivu budou ony ``zapomenuté hranaté závory'' anulovat, takže formální adjunkce bude dávat správný výsledek.

Adjunkce součinu. Komposice dvou operátorů má adjunkci

equation36641

To je zřejmé v maticové formulaci, obecněji

equation36644

(při prvé úpravě nakládejte jako s normálním vektorem s  tex2html_wrap_inline55372 , ve druhé s  tex2html_wrap_inline55374 ).

Toto tvrzení má za následek, že na nějakém z prostorů funkcí, které budeme diskutovat v kapitole o adjunkci, bude platitgif

equation36671

kde je třeba např. první člen vpravo nejprve násobit tex2html_wrap_inline55378 a pak teprve derivovat (pruh nad a(x) v našich příkladech půjde vynechat, polynomy a,b,c budeme mít reálné).

Tato rovnost pro svoji platnost potřebuje, aby x byl hermitovský operátor (pak budou hermitovské i jeho reálné funkce), aby d/dx byl antihermitovský (což bude oboje splněno na prostorech funkcí např. kvantového harmonického oscilátoru). Poznamenejme ještě trivialitu, že adjungovaný operátor k operátoru násobení komplexním číslem c je násobení tex2html_wrap_inline55390 .

Definice. Zavedme čtyři nová adjektiva pro operátor f. (Totéž platí pro matice.)

Prvý pojem přechází v reálném prostoru na ``symetrický'', druhý pojem na ``antisymetrický'', třetí na ``ortogonální'' (matice přechodu mezi ortonormálními basemi). Místo samoadjungovaný se též říká samosdružený.

Antihermitovský operátor lze též definovat jako takový, jehož i-násobek je hermitovský. (Ověřte ekvivalenci.)

Pojem normálního operátoru nemá příliš veliký samostatný význam, ale dobře zastřešuje předchozí tři skupiny. (To neznamená, že každý normální operátor patří do některé z těchto skupin. Normálním je jakýkoli násobek unitárního, hermitovského, ale i mnohé jiné operátory, třeba konvoluční - viz strana gif.)

Cvičení. Nalezněte všechny normální nilpotentní operátory.

(Nulový operátor. Nevidíte-li to hned, počkejte na větu o spektrálním rozkladu.)

Reálný násobek (anti-)hermitovského je (anti-)hermitovský, komplexní jednotkou vynásobený unitární je unitární atd. V kvantové fysice je důležité následující pozorování.

Pozorování. Exponenciála antihermitovského operátoru je unitární operátor.

equation36702

Uvádíme důležité příklady.

tabular35622

(Posun souřadné osy o z ve směru osy z je ekvivalentní posunu systému o -z. Podobně pro otočení.)

Vysloveně netriviální aplikace má však pojem duality jinde v analýze (rigorosní konstrukce složitých objektů, které bychom jinak stěží dokázali definovat).


next up previous contents index
Next: Dualita ve funkcionální analýze Up: Dualita Previous: Duální prostory

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997