next up previous contents index
Next: Dualita a distribuce Up: Dualita Previous: Dualita a skalární součin

Dualita ve funkcionální analýze

( tex2html_wrap_inline47304 ) Když už se občas jinde probírají ty lokálně kompaktní metrické (ba i topologické) prostory, uveďme informativně, k čemu to může být třeba užitečné.

Pojem pravděpodobnosti a míry. Je-li X (lokálně) kompaktní prostor (třeba tex2html_wrap_inline47396 , tex2html_wrap_inline47328 , prostor trajektorií,...viz dále) a je-li tex2html_wrap_inline55438 prostor spojitých funkcí s normou

equation36710

případně pro X lokálně kompaktní bereme soubor pseudonorem

equation36715

nazveme mírou  každou spojitou lineární formu na tex2html_wrap_inline55438 . Je-li navíc forma (míra) tex2html_wrap_inline54422 nezáporná ( tex2html_wrap_inline55448 ) a tex2html_wrap_inline55450 , mluvíme o pravděpodobnosti  na X.

Příklad 1. Dá se ukázat, že lineární forma

equation36721

je mírou pokud

equation36723

je-li tex2html_wrap_inline55454 a tex2html_wrap_inline55456 , jde o pravděpodobnost.

Pro nekonečný interval (a,b) nastávají drobné potíže s touto definicí: například známá Gaussova míra (pravděpodobnost)

equation36726

není ještě spojitou formou ve výše uvedené topologii. Místo abychom měnili topologii, raději dále rozšíříme pojem míry na objekty tvaru

equation36731

s mírami tex2html_wrap_inline55460 v předchozím smyslu, kde buď

Teorie míry a integrálu je výraznou (snad až hypertrofovanou) součástí látky přednášené studentům MFF UK v druhém ročníku. (Je ale obvykle budována alternativním přístupem bez důrazu na pojem míry jako funkcionálu.) Její užitečnost vynikne ani ne tak při výpočtu integrálů v  tex2html_wrap_inline47328 (tam by koneckonců stačila nějaká varianta Riemannova integrálu), spíše ve složitějších situacích v teorii pravděpodobnosti a teoretické fysice. Např. objekt P(y) resp. tex2html_wrap_inline55478 zavedený v úvodu k Feynmanově integrálu je mírou na prostoru všech trajektorií, dokonce pravděpodobností jsou-li tex2html_wrap_inline52170 stochastické matice. (Pro nepositivní, nekonečné matice ovšem nastávají značné potíže s Feynmanovým integrálem, pojem míry už nestačí k rozumnému popisu tohoto objektu.)



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997