next up previous contents index
Next: Fyzikální veličiny v kvantové Up: Letní semestr Previous: Zmínka o exaktní teorii

Spektrální rozklad, adjunkce

Lineární algebra tvoří jádro pojmového aparátu současné kvantové teorie. To naznačuje i pohled na obsah této kapitoly. Bohatou informaci o kvantové teorii a o použití LA (a dalších matematických partií) v ní nalezne čtenář v knize J.Formánka [14].

Níže uvedená velmi důležitá věta je koneckonců podrobnější, silnější versí věty Jordanovy pro speciálních případ normálních (čili hlavně hermitovských a unitárních) operátorů.

Provedeme však raději znovu samostatný důkaz této věty.  

Věta o spektrálním rozkladu. Je-li tex2html_wrap_inline49492 normální operátor, tak existuje ortonormální base tex2html_wrap_inline48468 složená z vlastních vektorů operátoru f. (Jiné formulace a četné důsledky této věty pro konkrétní volby f viz později.)

Důkazu předešleme dvě lemmata, z nichž první platí i v obecnějším kontextu lineárních prostorů i bez skalárního součinu (a už jsme se o něm tu a tam zmínili).

Lemma prvé. Dva komutující operátory tex2html_wrap_inline55614 mají alespoň jeden společný vlastní vektor.

Označme symbolem tex2html_wrap_inline53992 (dříve tex2html_wrap_inline55618 ) nulový prostor tex2html_wrap_inline55620 odpovídající nějakému vlastnímu číslu tex2html_wrap_inline49990 . tex2html_wrap_inline55624 Jelikož platígif

equation38563

tak existuje nějaký vlastní vektor restrikce (zúžení operátoru na tex2html_wrap_inline53992 )

equation38565

a ten je právě hledaným netriviálním společným vlastním vektorem.

Toto lemma užijeme pro případ tex2html_wrap_inline55630 , které pro normální f komutuje s f.

Tvrzení. Speciálně, je-li tex2html_wrap_inline49152 společný vlastní vektor f a tex2html_wrap_inline55640 , tak příslušná vlastní čísla

equation38569

splňují vztah tex2html_wrap_inline55642 , jelikož

equation38585

Jako v důkazu Jordanovy věty nyní chceme ověřit, že tex2html_wrap_inline53992 i tex2html_wrap_inline55646 jsou invariantní podprostory vzhledem k oběma operátorům f i tex2html_wrap_inline55640 ; přesněji, dokážeme pouze

tex2html_wrap_inline47710 lemma DRUHé. Nechť tex2html_wrap_inline50932 . Označme symbolem tex2html_wrap_inline48668 ortogonální doplněk tex2html_wrap_inline55658 . Pak tex2html_wrap_inline55660 .

Pro důkaz si stačí uvědomit, že

equation38644

Toto lemma použijeme pro případ, kdy je tex2html_wrap_inline49152 společným vlastním vektorem f a tex2html_wrap_inline55640 . Potom jsou operátory (restrikce)

equation38672

opět vzájemně adjungované (ověřte) a zajisté, že stále komutují. Lze tudíž nalézt další vlastní vektor f a tex2html_wrap_inline55640 , tentokrát v prostoru tex2html_wrap_inline48668 . V případě konečné dimense tex2html_wrap_inline48468 (popravdě ale většinou i jindy) takto najdeme za konečnou dobu celou basi, a důkaz je tímto hotov.

Jiný důkaz věty lze získat pomocí následující věty, která je jednoduchou variantou lemmatu zformulovaného na straně gif na konci kapitoly o Jordanově tvaru.

Schurova věta.   Každý operátor lze ve vhodné ortonormální basi vyjádřit trojúhelníkovou maticí. Není totiž těžké uvidět, že tato trojúhelníková matice musí být pro případ normálního operátoru diagonální (pokud basi odpovídající rostoucímu systému invariantních podprostorů zkonstruovanému na straně gif bereme ortonormální).

Maticová reformulace. Pro normální matici tex2html_wrap_inline47308 tex2html_wrap_inline55684 existuje komplexní diagonální tex2html_wrap_inline51978 a unitární tex2html_wrap_inline54780 taková, že

equation38688

Je-li navíc tex2html_wrap_inline47308 unitární resp. hermitovská resp. antihermitovská, jsou na diagonále v  tex2html_wrap_inline51978 komplexní jednotky resp. reálná resp. ryze imaginární čísla.

Rozklad do projektorů. Pro každý normální operátor tex2html_wrap_inline49492 existují ortogonální projekce tex2html_wrap_inline55696 takové, že

equation38706

a navíc ( tex2html_wrap_inline54304 jsou elementy spektra)

equation38712

kde druhý (Diracův) zápis se užívá v kvantové mechanice a vztahu

equation38716

říkáme obvykle relace úplnosti   a vztah

equation38723

platí právě proto, že vlastní vektory tex2html_wrap_inline55700 tvoří ortonormální basi a tedy

equation38733

Funkce normálních operátorů. Rozklad do projektorů

equation38738

umožňuje definovat operátor F(f) pro jakoukoliv funkci tex2html_wrap_inline55704 definovanou na spektru předpisem

equation38740

Cvičení. Pro tex2html_wrap_inline55706 , tex2html_wrap_inline55708 je to v souladu s dřívějšími definicemi. Zopakujte!

Jinou zajímavou funkcí je odmocnina z matice. Popište podrobně její konstrukci. Zajimají nás hlavně reálné odmocniny čili případ tzv. positivně definitních, reálných symetrických matic (jejichž spektrum sestává pouze z positivnich hodnot).

Odmocnina z matice je přímo nezbytná při práci třeba s tzv. vícerozměrnými gaussovskými integrály (tzn. např. integrál z funkce tex2html_wrap_inline55710 popř. ještě dále vynásobené nějakým polynomem). Znáte-li již metody vícerozměrné integrace (Fubiniovu větu a větu o substituci - mimochodem jak zní příslušná lineárně algebraická zjednodušená verse těchto vět, víte?), spočtěte tyto integrály.

Úlohy o adjunkci a transposici.

  1. Nechť tex2html_wrap_inline49492 na obyčejném prostoru bez skalárního součinu má vůči basi tex2html_wrap_inline48492 matici tex2html_wrap_inline47308 . Určete matice transponovaného a adjungovaného zobrazení vůči téže basi.
  2. Řešte minulou úlohu v případě, je-li zadán skalární součin b na tex2html_wrap_inline48468 .
  3. Nechť tex2html_wrap_inline55722 je dáno maticí tex2html_wrap_inline47308 v nějaké basi tex2html_wrap_inline55726 , kde tex2html_wrap_inline55728 . Potom duální zobrazení f' má vůči stejné basi matici (píšeme-li vektor vždy vpravo, i když je z duálu; identifikujeme tex2html_wrap_inline55732 ) tex2html_wrap_inline55734 , kde tex2html_wrap_inline55736 .

Řešení. Otázky prvé úlohy jsou nekorektně formulovány. V druhé pišme

equation38775

pomocí matice přechodu tex2html_wrap_inline49548 od nějaké ortonormální base tex2html_wrap_inline47470 (tj. tex2html_wrap_inline55742 ) k basi zadané. Potom má f vůči basi tex2html_wrap_inline51346 matici tex2html_wrap_inline55748 a tex2html_wrap_inline55640 má vůči této basi matici tex2html_wrap_inline55752 . Konečně vůči basi tex2html_wrap_inline55754tex2html_wrap_inline55640 matici

equation38807

kde tex2html_wrap_inline55758 je tzv. Grammova matice.   (Setkáme se s ní i jinde.)




next up previous contents index
Next: Fyzikální veličiny v kvantové Up: Letní semestr Previous: Zmínka o exaktní teorii

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997