next up previous contents index
Next: Heisenbergova relace neurčitosti Up: Spektrální rozkladadjunkce Previous: Spektrální rozkladadjunkce

Fyzikální veličiny v kvantové mechanice

  Při přechodu od klasické teorie ke kvantové nahradíme fysikální veličiny vhodnými lineárními operátory, účinkujícími na Hilbertově prostoru (lineární prostor se skalárním součinem) stavů (obvykle nekonečněrozměrném prostoru komplexních funkcí; jde o funkce na tex2html_wrap_inline49022 , studujeme-li pohyb částice ve třech rozměrech). Tak například v kvantové mechanice jedné částice pohybující se v jednom rozměru máme hermitovské (aby vlastní čísla byla reálná a tedy měřitelná) operátory tex2html_wrap_inline55762 s komutační relací

equation38838

která připouští interpretovat operátor tex2html_wrap_inline48148 jako násobení dané funkce (jde o prostor funkcí tex2html_wrap_inline55766 ) funkcí x a operátor tex2html_wrap_inline50316 jako tex2html_wrap_inline55772 (v takovém případě mluvíme o souřadnicové representaci ).

Podotkněme, že funkci lze Fourierovou  transformací převést do hybnostní representace, chápat funkci jako funkci proměnné p a operátor tex2html_wrap_inline50316 representovat jako násobení dané funkce funkcí p a operátor tex2html_wrap_inline48148 jako tex2html_wrap_inline55782 . Ověřte, že oba tyto operátory jsou hermitovské v obou representacích.

Zatímco v klasické fysice měly všechny veličiny konkrétní hodnotu, v kvantové mechanice lze o přesné hodnotě mluvit pouze v případě, že systém se nachází ve stavu, který je vlastní funkcí daného operátoru.

Tak například, hledáme-li (v souřadnicové representaci) vlastní stavy operátoru polohy (vlastnímu číslu říkejme tex2html_wrap_inline55522 ), má platit

equation38848

z čehož dostáváme po vydělení tex2html_wrap_inline55786 , že funkce tex2html_wrap_inline55524 musí být všude (pro všechna x) nulová, vyjma bodu tex2html_wrap_inline55792 . Takovou funkci lze tedy psát

equation38853

a nelze ji násobit takovým činitelem, aby měla jednotkovou normu. Jde totiž o případ spojitého spektra (vlastní číslo nabývá hodnot ze spojitého oboru), a tak musíme podmínkou výše nahradit vztah pro ortonormálnost base

equation38733

Podobně, vlastní funkcí příslušející vlastnímu číslu tex2html_wrap_inline55794 operátoru tex2html_wrap_inline50316 je  rovinná vlnagif

equation38864

a tyto vlny mohou posloužit jako spojitá base prostoru stejně dobře, jako base vektorů tex2html_wrap_inline55804 . Ortonormálnost této base a relace úplnosti pro obě base zapíšeme jako

equation38871



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997