next up previous contents index
Next: Kvantový harmonický oscilátor Up: Spektrální rozkladadjunkce Previous: Heisenbergova relace neurčitosti

Prostor Fourierových řad

  

...Poté, co na jednom semináři skončila Weylova přednáška o Riesz-Fischerově větěgif   se Hilbert údajně Weyla zeptal: ``Weyle, řeknete mně, prosím, co to je Hilbertův prostor? Já jsem tomu nerozuměl.''

Popovídáme si o prostoru komplexních funkcí periodických s periodou tex2html_wrap_inline47698 a se skalárním součinem

equation38998

splňujících nějakou podmínku rozumnosti, konkrétně integrovatelnost v kvadrátu, tj.

equation39006

(těmito detaily vás budou zatěžovat příští rok dosti). Uvažme, že operátor hybnosti tex2html_wrap_inline55853 jegif hermitovský, protože (podle metody per partes, hranaté závory se tentokrát anulují díky periodičnosti)

equation39011

Operátor tex2html_wrap_inline54692 má vlastní funkce odpovídající celému vlastnímu číslu p

equation39022

které jsme normovali (násobili faktorem, zaručujícím jednotkovou normu). (Každá funkce tex2html_wrap_inline54692 , jmenovitě jeho čtverec, má tytéž vlastní vektory jako tex2html_wrap_inline54692 . Čtverec tex2html_wrap_inline55863 bychom museli uvažovat v případě reálných prostorů a vidíme, že by podprostory odpovídající vlastnímu číslu tex2html_wrap_inline55865 byly dvojrozměrné. Komplexní výklad je ``fundamentálnější''.)

Tyto vlastní funkce můžeme užívat jako basi prostoru funkcí. Předtím jsme funkce vyjadřovali jako ``integrální lineární kombinaci vektorů (nespočetné spojité) base vlastních vektorů unitárního operátoru'' tex2html_wrap_inline55867 (s vlastními čísly - komplexními jednotkami) nebo hermitovského operátoru x s vlastními čísly tex2html_wrap_inline55871 . Vyjádření funkce tex2html_wrap_inline55518 ve spojité basi lze psát

equation39030

kde tex2html_wrap_inline55875 hrají roli koeficientů lineární kombinace a tex2html_wrap_inline55877 jsou funkce tvořící basi. (Delta-funkce je vyložena v kapitole o dualitě.)

Takováto vyjádření ovšem pojmem Hilbertova prostoru ještě správně formalisována nejsou; to vyžaduje další matematické konstrukce jako je např. tzv. ``osnaščonnoje prostranstvo'' I.M.Gelfanda.

V řeči bracketů lze psát relace úplnosti a vztahy mezi basemi

equation39033



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997