next up previous contents index
Next: Hermitovy polynomy Up: Spektrální rozkladadjunkce Previous: Prostor Fourierových řad

Kvantový harmonický oscilátor

Tomuto problému je poprávu věnováno mnoho pozornosti v mnohých knihách; nejen proto, že na mnohé situace lze nahlížet v přiblížení, kdy je síla úměrná výchylce (tedy potenciální energie roste kvadraticky s výchylkou), ale i proto, že identická úloha se objevuje v kvantové teorii pole, včetně (super)strun, a proto, že má svoji velkou krásu a jednoduchost.

Mluvme o prostoru komplexních funkcí na reálné ose (dostatečně slušně se chovajících, integrovatelných v kvadrátu, v nekonečnu jdoucích k nule i se svojí prvou derivací atd.), v němž mějme operátory souřadnice a impulsu

equation39047

(aby byl text lépe využitelný i fysikálně, vkládáme všude konstanty tex2html_wrap_inline55881 a tex2html_wrap_inline55883 ), o nichž si čtenář může mysliti, že jsou rovny jedné; pak vyhlížejí vzorce zvláště elegantně.

Na tomto prostoru mějme skalární součin

equation39050

Hledáme vlastní čísla a vektory  hamiltoniánu   kvantového oscilátoru, to jest operátoru energie ( tex2html_wrap_inline55885 je ``tuhost'', m je hmotnost částice)

equation39060

Bez dlouhých řečí, začněme nejefektivnější cestu: víme, že operátory tex2html_wrap_inline55889 a tex2html_wrap_inline55891 jsou hermitovské (v důkazu hermitovosti tex2html_wrap_inline55891 tentokrát vypadnou hranaté závorky proto, že funkce spolu se svými prvými derivacemi jdou v nekonečnu k nule); jako vždy, když se nám vyskytne výraz tvaru tex2html_wrap_inline55895 , je i teď výhodné užít pro analýzu komplexní kombinace a+bi,a-bi.

Zaveďme tedy   anihilační operátor tex2html_wrap_inline55899 a k němu adjungovaný   kreační operátor tex2html_wrap_inline55901 vztahy

equation39068

equation39075

a snadným roznásobenímgif schválíte, že

equation39079

equation39082

které lehce spočtete, znáte-li rovnost, již lehce zkontrolujete rozepsáním

equation39087

Máme-li vlastní vektor tex2html_wrap_inline49164 operátoru tex2html_wrap_inline55911 odpovídající energii (vlastnímu číslu E)

equation39089

potom vektory tex2html_wrap_inline55915 , tex2html_wrap_inline55917 jsou také vlastní stavy tex2html_wrap_inline55911 s energií tex2html_wrap_inline55921 resp. tex2html_wrap_inline55923 (užito roznásobení, fakt, že číslo E komutuje se vším atd.):

equation39091

equation39093

Tyto rovnosti platí nesporně, avšak také máme požadavek, že vlastní číslo tex2html_wrap_inline55927 nemůže být záporné (a tedy vlastní číslo tex2html_wrap_inline55911 menší než tex2html_wrap_inline55931 ), protože střední hodnota operátoru tex2html_wrap_inline55927 v normovaném stavu tex2html_wrap_inline49164

equation39101

která je pro vlastní vektor tex2html_wrap_inline49164 přímo rovna vlastnímu číslu tex2html_wrap_inline49990 , je vlastně čtvercem normy vektoru tex2html_wrap_inline55915 .

Řešení záhady záleží v tom, že rovnosti výše jsou splněny proto, že celý vektor tex2html_wrap_inline55915 se rázem stane nulovým, jdeme-li s energií příliš nízko. Dovolené je jen takové spektrum energií, že pro nějaký vektor tex2html_wrap_inline52600 (říkejme mu  vakuum) platí

equation39104

Jinak řečeno, spektrum obsahuje hodnoty tex2html_wrap_inline55947 , jsou ekvidistantně rozestavěné a toho využil Stvořitel v kvantové teorii pole: každý stav fotonu, stejně jako ostatních bosonů, s danou velikostí a směrem hybnosti a s danou polarisací, představuje jeden oscilátor a stupeň hladiny (vlastní číslo operátoru tex2html_wrap_inline55927 ) udává počet fotonů v tomto stavu.

Nedávno zavedenou terminologií bychom mohli říci, že je vakuum cyklickým vektorem kreačního operátoru. ( tex2html_wrap_inline55951 tvoří celou basi pro tex2html_wrap_inline55953 .)

To, že základní hladina (nula fotonů) nemá nulovou energii, byl jistě jeden ze stimulů k výstavbě    supersymetrických teorií. Pokud si myslíte, že stačí říci, že tex2html_wrap_inline55955 a zbavit se tak energie základního stavu, vězte, že potom nejde celková energie psát jako objemový integrál její hustoty.


next up previous contents index
Next: Hermitovy polynomy Up: Spektrální rozkladadjunkce Previous: Prostor Fourierových řad

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997