next up previous contents
Next: Několik poznámek o principu linearisace Up: První seznámení s předmětem Previous: Řešení soustav rovnic a

Výpočet objemu pravidelného dvacetistěnu

Už Pythagorejci měli za emblém pravidelný pětiúhelník, obrazec, jehož  podivuhodné vlastnosti byly skryty obyčejným smrtelníkům (a některé z nich i samotným Pythagorejcům, jak uvidíme později v kapitole o  Penroseově pokrytí) a jehož zkoumání musí předcházet studiu dvacetistěnu. Uvidíme, jak symetrie pomáhá v řešení této úlohy.

Spočteme nejprve číslo tex2html_wrap_inline47468 . Pohledem na pravidelný pětiúhelník s jednotkovými vektory tex2html_wrap_inline47470

  displaymath47472

zjistíme, že (odůvodněte podrobně; všimněte si, že ve výrazu níže pracujeme celkem s pětadvaceti dvojicemi vektorů, z nichž deset je ``blízkých'', jako např. 1 a 2, a deset je ``dalekých'', jako např. 1 a 3)gif

equation4078

equation4093

tedy tex2html_wrap_inline47476 , kde tex2html_wrap_inline47478 je tzv.  zlatý řezgif

equation4095

O ``magických'' vlastnostech tohoto čísla se lze poučit v knihách o teorii čísel.

Podobné pozorování platí i pro pravidelný dvacetistěn, mající jak známo 12 vrcholů, které dále ztotožníme s vektory tex2html_wrap_inline47484 vycházejícími z počátku ve středu tělesa. Doporučujeme zapůjčit si nebo lépe sám si vyrobit zmíněný dvacetistěn.

Dva vrcholy dvacetistěnu totiž buď splývají, nebo jsou protilehlé a nebo jsou v posici ``blízké'' či ``daleké'', přičemž obou druhů dvojic je po třiceti; každý z dvanácti vrcholů má pět ``blízkých'' sousedů a stejně tak pět ``dalekých'', součin však dělíme dvěma, abychom nezapočetli každou dvojici dvakrát. Jelikož tex2html_wrap_inline47486 , lehce ověříme, že tex2html_wrap_inline47488 se liší jen ve znaménku, označuje-li tex2html_wrap_inline47490 úhel mezi dvěma body ``blízké'' resp. ``daleké'' dvojice vrcholů tex2html_wrap_inline47492 . Spočteme tento úhel tex2html_wrap_inline47490 mezi blízkými vrcholy:

Volme očíslování dvanácti vrcholů tak, aby vektor

equation4112

byl kladným násobkem tex2html_wrap_inline47496 . Pak je (ověřte!)

equation4126

(v dané pětici je pět blízkých a pět dalekých dvojic). Z druhé strany, zprojektujeme-li tex2html_wrap_inline47498 do tex2html_wrap_inline47496 , platí

equation4145

Tedy tex2html_wrap_inline47488 splňuje rovnici

equation4158

a objem již poměrně snadno dopočteme (proveďte!).

Cvičení. Spočtěte i objemy dalších pravidelných (Platónových) těles   pro známou vzdálenost vrcholů od těžiště. Těmito tělesy jsou čtyřstěn, krychle, osmistěn a dvanáctistěn; dvanáctistěn má pětiúhelníkové stěny.


next 

up previous contents index
Next: Několik poznámek o principu linearisace Up: První seznámení s předmětem Previous: Řešení soustav rovnic a

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997