next up previous contents index
Next: Legendreovy polynomy Up: Spektrální rozkladadjunkce Previous: Kvantový harmonický oscilátor

Hermitovy polynomy

  

Funkce ``vakuum'' má v souřadnicové representaci tvar (vracíme se opět k značení obvyklému v matematice)

equation39109

kde tex2html_wrap_inline47440 je jednotková délka

equation39116

Vidíme, že k-násobným působením kreačního operátoru (kombinace x a d/dx) se k exponenciále přinásobí polynom k-tého stupně.

To nás vybízí k tomu, abychom exponenciální faktor vytkli (dále stavíme tex2html_wrap_inline55967 ) a definovali skalární součin na prostoru polynomů ( tex2html_wrap_inline55969 )

equation39121

Hermitovy polynomy tex2html_wrap_inline55971 odpovídající n-krát vzbuzenému vakuu (n fononů čili vibračních kvant)  se obvykle normují tak, že

equation39130

Pak lze psát jednoduchý vzorec (s konvenčním znaménkem)

equation39137

Abychom zjistili, který operátor tex2html_wrap_inline51234 má za své vlastní funkce Hermitovy polynomy, stačí si uvědomit, že tento operátor získáme tím, že polynom násobíme tex2html_wrap_inline55979 , čímž ho převedeme na vlnovou funkci harmonického oscilátoru, zapůsobíme na toto hamiltoniánem (z minulé sekce) a opět dělíme tex2html_wrap_inline55979 , čímž vlnovou funkci opět převedeme na polynom. (Pamatujme, že tex2html_wrap_inline55983 .)

equation39144

Takový operátor tex2html_wrap_inline51234 má tedy vlastní čísla 1/2, 3/2, 5/2 atd. (Abychom měli vlastní čísla 0,1,2, stačí vynechat jednotku v závorce.)

Tvar několika prvních Hermitových polynomů

equation39151

Platí rekurentní vzorec

equation39156

a polynomy lze získat jako koeficienty MacLaurinovy řady vytvořující funkce

equation39160



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997