next 
up previous contents index
Next: Sférické funkce Up: Spektrální rozkladadjunkce Previous: Hermitovy polynomy

Legendreovy polynomy

   V případě Legendreových polynomů uvažujeme polynomy na tex2html_wrap_inline49138 se skalárním součinem

equation39168

Na tomto prostoru nás zajímá Legendreův operátor (derivujte, vynásobte tex2html_wrap_inline55997 a opět derivujte)

equation39176

Po substituci tex2html_wrap_inline55999 nabude operátor tvaru

equation39184

Ukážeme, že je hermitovský ( tex2html_wrap_inline56001 ).

equation39194

Použili jsme dvakrát per partes. Hranaté závory byly tentokrát nulové proto, že obsahovaly činitel tex2html_wrap_inline56003 , který nabývá v bodech tex2html_wrap_inline50988 nuly (alespoň pokud jsou f,g polynomy).

Vlastními vektory jsou Legendreovy polynomy, obvykle normované podle vztahu

equation39215

Prvních pár polynomů má tvar (jsou přepočteny i na kosiny násobků tex2html_wrap_inline52360 po substituci tex2html_wrap_inline55999 )

equation39220

To, že jsou vlastními vektory, je vidět z toho, že jsou na sebe kolmé. Provádíme-li ortogonalisaci tex2html_wrap_inline56013 , vyjdou nám jednoznačné (až na koeficienty) vektory. Na druhé straně, hledáme-li mezi polynomy n-tého stupně vlastní vektor tex2html_wrap_inline55528 , který (protože vlastní) je kolmý na všechny polynomy nižších stupňů, vyjdou také jednoznačně.

Kolmost ověříte násobným provedením per partes na výrazu

equation39226

Mimo jiné, pro polynomy normované způsobem výše, platí vztah ortogonality (n+1/2 dá dost počítání)

equation39237

Přesto nás zajímá spektrum Legendriánu (násobíme koeficientem tex2html_wrap_inline56021 ).

equation39245

Několikrát byla užita Leibnizova formule pro N-tou derivaci součinu

equation39287

analogická binomické větě. Tak například v poslední úpravě položíme v prvém členu N=n+1, tex2html_wrap_inline56027 , v=2nx a máme (členy, kde se v derivuje více než jednou, jsou nulové)

equation39295

Poslední napsaný člen 2n(n+1) se trochu odečte s n(n+1) a předposlední vyruší s předposledním v úpravách. Prostřední úpravu při výpočtu spektra kontrolujte pozpátku, při přiřazení tex2html_wrap_inline56037 , tex2html_wrap_inline56039 , N=n+1. Tentokrát jsou nulové členy, kde se v derivuje alespoň třikrát.

Vidíme, že tex2html_wrap_inline56045 je vlastní funkce příslušející vlastnímu číslu n(n+1).

Bez důkazu konstatujme na závěr ještě, že polynomy lze počítat podle rekursivního vzorce

equation39308

nebo jako koeficienty Taylorova rozvoje vytvořující funkce  

equation39314

(konvergujegif pro tex2html_wrap_inline56055 ), z t oho plyne, že po dosazení x=1 dostaneme nalevo 1/(1-t), což je geometrická řada tex2html_wrap_inline56061 , a tudíž tex2html_wrap_inline56063 , že jejich definici lze rozepsat

equation39319

nebo ve vyjádření tex2html_wrap_inline55999

equation39329

Převrácenou hodnotu vzdálenosti dvou bodů o sférických souřadnicích (r,0,0) a tex2html_wrap_inline56069 lze vyjádřit jako

equation39347

pro tex2html_wrap_inline56071 ; pro tex2html_wrap_inline56073 ve vzorci vyměníme r a tex2html_wrap_inline54640 .

Krokem ke sférickým funkcím jsou přidružené Legendreovy polynomy

equation39355

po dosazení

equation39360

které pro každé tex2html_wrap_inline56079 (všimněte si, že vše funguje i pro tex2html_wrap_inline56081 ) tvoří ortogonální basi. Vztah ortogonality je

equation39368

Jsou vlastními vektory (příslušné vlastnímu číslu l(l+1)) operátoru

equation39377

Většinou se násobí určitým faktorem. Tzv. normované přidružené Legendreovy polynomy jsou

equation39385

Jsou dobře definovány pro všechna tex2html_wrap_inline56085 a

equation39391


next up previous contents index
Next: Sférické funkce Up: Spektrální rozkladadjunkce Previous: Hermitovy polynomy

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997