next up previous contents index
Next: Nejlepší aproximace jsou pomocí Up: Spektrální rozkladadjunkce Previous: Sférické funkce

Čebyševovy, Laguerrovy a další polynomy

  

Volme opět interval tex2html_wrap_inline49138 , tentokrát ovšem se skalárním součinem

equation39553

který po substituci tex2html_wrap_inline55999 , tex2html_wrap_inline56143 dává

equation39567

a je tedy jakýmsi skalárním součinem na půlkružnici.

Uvažme diferenciální operátorgif

equation39573

Větami o substistuci nebo vyjádřením

equation39582

ihned usoudíte, že v proměnné tex2html_wrap_inline52360 má tvar tex2html_wrap_inline56149 .

Je samoadjungovaným operátorem, protože

equation39587

hranaté závorky vymizí v případě, že funkce f,g mají konečnou derivaci v bodech -1,1, jelikož tex2html_wrap_inline56145 je zde nulové.

Vlastními vektory jsou Čebyševovy polynomy (prvního druhu) příslušející vlastnímu číslu tex2html_wrap_inline56157

equation39633

Dalšími lineárně nezávislými vlastními vektory jsou Čebyševovy polynomy druhého druhu (jde o polynomy násobené tex2html_wrap_inline56145 )

equation39654

tvořící další ortogonální basi prostoru funkcí. Všimněte si, že i v případě, když obě funkce f,g mají tvar polynom krát tex2html_wrap_inline56145 , tak hranaté závorky vymizí, poněvadž je-li tex2html_wrap_inline56165 pro polynom F a tex2html_wrap_inline56169 pro polynom G, je

equation39656

kde symbol tex2html_wrap_inline56173 a tex2html_wrap_inline56175 označuje výrazy, které jsou nulové pro tex2html_wrap_inline56177 a (neboť násobeny tex2html_wrap_inline56145 ) v hranatých závorkách tedy vymizí. Zbylé členy dají

equation39668

a vymizí tedy také. (Pozor, podmínka samoadjungovanosti nebude splněna v kombinovaném případě, tj. pokud f bude polynom a g bude tex2html_wrap_inline56185 .)

Uvedeme ještě tvar několika prvních Čebyševových polynomů:

equation39676

Pro úplnost zde ještě bez důkazů uvádíme rekurentní vzorec (stejný pro T i U)

equation39685

a tzv. vytvořující funkce 

equation39691

Shrňme ještě vztahy ortogonality

equation39704



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997