next up previous contents index
Next: Kvadratický svět Up: Spektrální rozkladadjunkce Previous: Laguerrovy polynomy

Diagonalisace konvolučního operátoru

Připomeňme na úvod pojem charakteru zavedený v odstavci duální grupa.  

Nechť tex2html_wrap_inline47510 je konečná Abelova grupa (mysleme třeba přímo na tex2html_wrap_inline48072 ). Vnořme tex2html_wrap_inline47510 do formálního lineárního obalu nad  tex2html_wrap_inline47510 , tzn. do tex2html_wrap_inline56263 (tento prostor dále značíme symbolem tex2html_wrap_inline56265 a jeho prvky jako tex2html_wrap_inline56267 ; samotné prvky tex2html_wrap_inline47510 potom ztotožníme s  tex2html_wrap_inline56271 ). Zobrazení ``translace'' (``posunu'')

equation39838

lineárně prodloužíme předpisem

equation39842

na operátor tex2html_wrap_inline56281 definovaný na celém tex2html_wrap_inline56265 .

  

Definice. Libovolný operátor na tex2html_wrap_inline56265 , který je lineární kombinací operátorů posunu, nazveme konvolučním operátorem ( konvolucí).   Je-li

equation39851

nazveme funkci tex2html_wrap_inline56289 jádrem  konvoluce f. 

Poznámka. Později budete v analýze zkoumat spojitou analogii tohoto pojmu na tex2html_wrap_inline56293 . Tam bude analogicky konvolucí funkcí X a F funkce

equation39858

a tedy tex2html_wrap_inline56299 bude konvolučním operátorem s jádrem F na vhodném prostoru funkcí na tex2html_wrap_inline47396 (přičemž samozřejmě vyvstanou ve srovnání s konečnou grupou tex2html_wrap_inline47510 nové technické problémy spojené s otázkou, jaká jádra jsou přípustná, aby uvažovaný operátor měl rozumné vlastnosti).

Není těžké nahlédnout, že každý konvoluční operátor je normální (pokud nerozumíte, užijte rejstřík nebo ignorujte) (čemupak je asi rovna adjunkce k  tex2html_wrap_inline56281 !?), takže má smysl chtít ho diagonalisovat. Ve skutečnosti - v důsledku komutování všech translací - lze provést tuto diagonalisaci pro všechny konvoluční operátory najednou. Níže uvedenou větu jsme již jednou použili - při výpočtu cirkulantu:

Věta. Nechť T je konvoluční operátor s jádrem F. Potom je T diagonalisován v ortogonální basi všech charakterů tex2html_wrap_inline47510 a platí

equation39865

pro libovolný charakter tex2html_wrap_inline47490 , kde

equation39867

Poznámka. Tato věta je základem celého matematického oboru - tzv. harmonické analýzy.   Viz teorii Fourierových řad a Fourierových transformací. Přinášíme několik důsledků:

Parsevalova rovnost. (N je počet prvků tex2html_wrap_inline47510 .) 

equation39874

Stačí si uvědomit, že přechod od kanonické base k basi dané charaktery normalisovanými faktorem tex2html_wrap_inline56329 , je unitárním zobrazením.  

 

Druhý důsledek. O užití následující rovnosti se ještě zmíníme v podkapitole o tensorech a nezávislých jevech. (Je to pouhé skládání diagonálních matic.)

equation39884

Poznámka. Hezčí, vůči tex2html_wrap_inline47510 a tex2html_wrap_inline47622 symetrickou variantu Parsevalovy rovnosti dostaneme v následující normalisaci. Ztotožníme tex2html_wrap_inline47510 i tex2html_wrap_inline47622 s aditivní grupou čísel tex2html_wrap_inline56339 . Pišme tedy charaktery tex2html_wrap_inline47510 ve tvaru

equation39894

Pišme

equation39900

Bereme-li skalární součiny

equation39907

(faktor tex2html_wrap_inline56329 je tu proto, aby příslušná ``rovnoměrná míra'' na tex2html_wrap_inline47510 a tex2html_wrap_inline47622 s vahou každého bodu tex2html_wrap_inline56329 přešla v limitě níže v míru Lebesgueovu) má Parsevalova rovnost tvar

equation39930

Pro tex2html_wrap_inline51618 pak přecházíme k Fourierově transformaci, kde Parsevalova rovnost má tvar

equation39936

Jiná normalisace (prvky tex2html_wrap_inline47622 uvažujeme zde opět celočíselné)

equation39941

vede k variantě

equation39946

což je zase obvyklý a vhodný tvar pro přechod (při tex2html_wrap_inline51618 a přeškálování G obdobně jako nahoře, ale faktorem 1/N) k teorii Fourierových řad. Nalevo potom vznikne integrál přes [0,1].

Harmonická analýza je pěkným příkladem postupné abstrakce matematického oboru - který vznikl ``zkoumáním kmitů'' (třeba strun hudebních nástrojů) a nachází mnohé aplikace třeba v elektrotechnice - a o němž je po 300 letech rozvoje s jistou nadsázkou také možno říci, že to je ``pouze'' jistý speciální případ diagonalisace operátoru - totiž konvolučního operátoru - a to vůči basi dané všemi charaktery dané grupy. ( tex2html_wrap_inline47306 )


next up previous contents index
Next: Kvadratický svět Up: Spektrální rozkladadjunkce Previous: Laguerrovy polynomy

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997