next up previous contents index
Next: Matice kvadratické formy Up: Kvadratický svět Previous: Kvadratický svět

Bilineární a kvadratické formy

    

Definice. Zobrazení na kartézském součinu vektorových prostorů

equation39961

nazveme   multilineárním ( tex2html_wrap_inline56387 lineární v každé proměnné), pokud platí

a obdobné rovnosti pro ostatní proměnné. V této kapitole mluvíme o případu n=2, proto ona předpona ``bi'' v označení    bilineární formy.

V případě n=2 je ovšem nejdůležitějším příkladem   zobrazení duality:

equation40005

Z věty o representaci  víme, že jakékoliv bilineární zobrazení z  tex2html_wrap_inline56407 lze přenést na tex2html_wrap_inline56409 vztahem

equation40021

Pak je ale zobrazení v druhé proměnné antilineární a nikoli lineární.

Abychom mohli mluviti např. i o skalárním součinu na komplexním prostoru jako o bilineární formě, učiňme úmluvu, že bilineárním zobrazením B budeme rozumět zobrazení tex2html_wrap_inline56413 lineární v prvé a antilineární v druhé proměnné. V čisté algebře (neovlivněné ``přehnaným'' důrazem na hermitovské formy) se bilineární formou nazývá forma lineární v obou proměnných; to, co my jsme nazvali bilineární formou, se obvykle nazývá sesquilinear form apod.   Ze sesquilineárních se přeorientujeme na skutečně bilineární formy v kapitole o tensorech.

Definice. Zúžení   neboli restrikci tex2html_wrap_inline56415

equation40039

nazveme   kvadratickou formou odpovídající dané bilineární formě.

Nabízí se otázka, zda se touto restrikcí neztratí nějaká informace o původní (hermitovské, sesquilineární) bilineární formě B. Odpověď ``neztratí'' dává následujícígif

tex2html_wrap_inline47710 rekonstrukční VěTA.

equation40053

Na reálném prostoru lze dokonce psát

equation40075

Identická věta byla uvedena už v kapitole o skalárním součinu, důkaz proveďte tímtéž roznásobením.

Důsledek. Pojmy ``symetrická bilineární (nebo sesquilineární) forma'' a ``kvadratická forma'' budeme dle libosti zaměňovat.

Definice. Bilineární formu nazveme   hermitovskou resp.   symetrickou, pokud platí

equation40093

Vidíme, že pro reálné formy oba nové pojmy splývají.

  Skalární součin teď lze chápat jako hermitovskou bilineární formu, která je navíc   positivní:

equation40119

Pojem hermitovské   (samoadjungované) kvadratické formy je tedy zobecněním pojmu skalárního součinu.


next up previous contents index
Next: Matice kvadratické formy Up: Kvadratický svět Previous: Kvadratický svět

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997