next up previous contents index
Next: Diagonalisace kvadratické formy Up: Kvadratický svět Previous: Bilineární a kvadratické formy

Matice kvadratické formy

Definice. Nechť tex2html_wrap_inline48492 je nějaká base tex2html_wrap_inline48468 .

Maticigif tex2html_wrap_inline56431 s prvky tex2html_wrap_inline56433 nazveme   maticí dané bilineární formy B.

Dva vektory. Pokud v tomto prostoru máme dva vektory

equation40139

potom je

equation40151

což lze přepsat do tvaru maticového součinu ( tex2html_wrap_inline48148 je sloupcová matice se souřadnicemi tex2html_wrap_inline49094 tak, jak se vektor obvykle píše)

equation40172

(Vše platí i v  tex2html_wrap_inline47328 , kde lze vynechat pruhy a hvězdičku nahradit téčkem.)

Kvůli shodě s obvyklým značením v kvantové mechanice, kde se sdružuje levý činitel (bra-vektor),gif budeme užívat prvého zápisu s transponovanou maticí tex2html_wrap_inline47310 . Vidíme, že hodnotu bilineární formy ve vektorech tex2html_wrap_inline56445 lze nahlížet jako skalární součin

equation40196

kde zobrazení f je dáno vzorcem

equation40208

(Bude-li řeč o bracket-zápisu, budeme mínit maticí formy matici transponovanou k té, o niž jsme mluvili, běžně budeme pracovat s ket-vektory, jejichž souřadnice budeme psát do sloupce, zatímco příslušné bra-vektory budou vektory duálního prostoru se souřadnicemi sdruženými proti odpovídajícím ket-vektorům a zapisovanými do řádky. Skalární součin budeme nadále psát

equation40218

Naštěstí, alespoň v reálném případě je jedno, kam umístíme pruh.)

Věta. Nechť tex2html_wrap_inline47308 resp. tex2html_wrap_inline49794 je maticí B vůči basi tex2html_wrap_inline48492 resp. tex2html_wrap_inline56457 . Nechť maticí přechodu od tex2html_wrap_inline48566tex2html_wrap_inline56461 je matice tex2html_wrap_inline49548 :

equation40242

equation40263

Uvědomte si rozdíly proti změně matice zobrazení.

Důkaz. Tabulku tex2html_wrap_inline56431 lze znázornit jako maticový součin

equation40274

kde součinem prvků tex2html_wrap_inline56467 míníme tex2html_wrap_inline56469 . Pišme vztah mezi basemi také transponovaně:

equation40305

a pronásobme sloupce a řádky. Dostaneme vztah

equation40327

equation40368

kde `` tex2html_wrap_inline48040 '' je násobení dané předpisem B a pruh u  tex2html_wrap_inline49548 vyjadřuje antilinearitu v druhém činiteli.

Ve složkách vypadá důkaz

equation40379

Příklady bilineárních forem. Z analýzy jsme zvyklí na linearisaci problémů (počítání s diferenciálem zkoumaných funkcí). Tam, kde linearisace   dává nedostatečnou informaci, např.gif v okolí extrému, nastupuje jemnější metoda: zkoumané funkce nahrazujeme jejich lineárně-kvadratickými aproximacemi, tj.  Taylorovým rozvojem 2.řádu. (Pokud se první diferenciál anuluje, zbude jen kvadratická forma.)

Pro funkce tex2html_wrap_inline56477 tak dostáváme kvadratické formy typu

equation40410

Analogicky, na prostorech funkcí můžeme takto dospět ke kvadratickým formám tvaru např.

equation40421

kde J je nějaká funkce dvou proměnných  (``jádro'' dané bilineární formy).

Budiž poznamenáno, že skalární součin dostaneme pro

equation40426

kde tex2html_wrap_inline54640 je váha (např. 1 nebo tex2html_wrap_inline56487 ) a tex2html_wrap_inline55490 je    Diracova funkce.

Jednoduché příklady kvadratických forem dostáváme, měříme-li (třeba euklidovsky) vzdálenosti na podprostorech tex2html_wrap_inline47328 , které nějak parametrisujeme, čímž vyjde kvadrát vzdálenosti bodu jako kvadratická forma rozdílu zmíněných parametrů. Tím jsme poukázali na přirozenost zadání vzdálenosti v  tex2html_wrap_inline56493 (kde tex2html_wrap_inline56495 ) pomocí vhodné kvadratické formy (s maticí obecně odlišnou od jednotkové) a můžeme zformulovat

tex2html_wrap_inline47710 cvičení. Spočtěte vzdálenost bodu od podprostoru tex2html_wrap_inline56499 v metrice dané kvadratickou formou na tex2html_wrap_inline56493 s maticí tex2html_wrap_inline47308 .

(Příklad: vzdálenost bodu od přímky v  tex2html_wrap_inline49020 , kde vzdálenost měříme pomocí kvadratické formy s nějakou maticí tex2html_wrap_inline47308 .)

Příklad-Toeplitzovy formy.gif Mějme kvadratickou formu na tex2html_wrap_inline47328 , jejíž matice vůči kanonické basi má prvky invariantní vůči posunu v cyklické grupě tex2html_wrap_inline56511 , tzn. prvky tex2html_wrap_inline56513 závisí pouze na tex2html_wrap_inline56515 . (Třeba suma čtverců rozdílů sousedních souřadnic; 0 a n-1 jsou také sousedé.) Takovéto formě se říká   Toeplitzova a příslušný representující operátor je ovšem konvoluční operátor (viz. str. gif); spektrální rozklad tam uvedený dává pak diagonalisaci uvažované kvadratické formy.)

Cvičení. Charakterisujte případy, kdy konvoluční operátor je dokonce samoadjungovaný. (Odpověď: když má ``symetrické jádro'' tzn. když je representujícím operátorem Toeplitzovy formy; viz dále - formulujte podrobněji).


next up previous contents index
Next: Diagonalisace kvadratické formy Up: Kvadratický svět Previous: Bilineární a kvadratické formy

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997