next up previous contents index
Next: Kvadriky a kuželosečky Up: Kvadratický svět Previous: Jacobi-Sylvestrova metoda

Signatura, definitnost

  

Nechť má kvadratická forma B ve vhodné basi diagonální matici, kde tex2html_wrap_inline56729 resp. tex2html_wrap_inline56731 resp. tex2html_wrap_inline49970 prvků na diagonále je kladných resp. záporných resp. nulových.

Potom signaturou míníme uspořádanou trojici tex2html_wrap_inline56735 ; někdy ji zapisujeme názorně jako

equation41077

Formě navíc přisoudíme přívlastek tex2html_wrap_inline47430 -definitní, kde tex2html_wrap_inline47430 je vhodná předpona, vytvořená podle následujících pravidel:

Jacobi-Sylvesterova metoda vede nyní k následujícímu důsledku.

Věta. Nechť má matice kvadratické formy tex2html_wrap_inline47308 všechny hlavní minory nenulové. Pak je signatura formy tex2html_wrap_inline56755 , kde tex2html_wrap_inline56731 je počet změn znamének v posloupnosti

equation41086

Speciálně, tex2html_wrap_inline47308 je positivně definitní právě tehdy, pokud jsou všechny hlavní minory kladné.

Ještě jsme nedokázali korektnost definice pojmu signatury, tj. nezávislost hodnot tex2html_wrap_inline56761 na volbě base. Pro reálné symetrické formy však toto tvrdí tex2html_wrap_inline47710 věta O SETRVAčNOSTI.  

Její důkaz. Mějme dvě base tex2html_wrap_inline48492 a tex2html_wrap_inline56767 , v nichž má daná forma f diagonální tvar daný maticí tex2html_wrap_inline56771 a tex2html_wrap_inline56773 . Nechť jsou prvky basí uspořádány tak, že tex2html_wrap_inline56775 a tex2html_wrap_inline56777 .

Nechť tex2html_wrap_inline56779 je poslední index, pro který tex2html_wrap_inline56781 . Odvodíme spor z předpokladu, že tex2html_wrap_inline56783 . (Ostatní situace se vyřídí obdobně.) Vskutku, kdyby tex2html_wrap_inline56785 počínaje od jistého indexy tex2html_wrap_inline56787 , provedli bychom tuto úvahu:

Podprostory tex2html_wrap_inline56789 a tex2html_wrap_inline56791 musí mít netriviální průnik (z důvodů dimense). Nechť je jím vektor tex2html_wrap_inline52424 .

equation41119

Potom ale

equation41131

a zároveň

equation41136

To jsou paradoxy, že ano?



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997