next up previous contents index
Next: Polární rozklad operátoru Up: Dvě maticové bagately Previous: Dvě maticové bagately

Pseudoinverse matice

  

Co dělat, nemá-li matice tex2html_wrap_inline47308 inversní matici? Jinými slovy, jak nahradit vzorec

equation43427

pro řešení soustavy tex2html_wrap_inline50046 v případě, že tex2html_wrap_inline47316 neexistuje? Odpovědí je konstrukce tzv. pseudoinverse matice z kuchyně Moor-Penroseho.

Definice. Pseudoinversí obecné (obdélníkové) matice tex2html_wrap_inline47308 nazveme takovou matici tex2html_wrap_inline47318 , pro kterou platígif (právě poslední dvě podmínky přinášejí přívlastek ``Moor-Penroseho'')gif

equation43447

Cvičení. Existuje-li tex2html_wrap_inline47316 , je samozřejmě tex2html_wrap_inline57237 . Zatím přenecháme matematikům důkazy jednoznačné existence pseudoinversní matice a raději ukážeme, jak zkonstruovat tex2html_wrap_inline47318 ve dvou typických případech.

Kdyby to někoho přece jen zajímalo, pseudoinversní zobrazení k  tex2html_wrap_inline49454 získáme tak, že ve tex2html_wrap_inline48668 najdeme basi tex2html_wrap_inline57245 a doplníme ji na basi tex2html_wrap_inline48668 vektory kolmýmigif na tex2html_wrap_inline57245 . Zobrazení tex2html_wrap_inline57255 přiřadí vektorům base tex2html_wrap_inline57245 jejich vzory při zobrazení f, a to ty, které jsou kolmé na tex2html_wrap_inline57261 , a zbylým (kolmým na tex2html_wrap_inline57245 ) vektorům base přiřadí nulový vektor ve tex2html_wrap_inline48468 .

  1. Místo neexistujícího řešení soustavy tex2html_wrap_inline50046 hledáme řešení pro projekci tex2html_wrap_inline57275 do sloupcového prostoru, tedy

    equation43535

    Potom je tex2html_wrap_inline57279 a můžeme psát tex2html_wrap_inline57281 . Ověřte, že v tomto případě splňuje tex2html_wrap_inline57283 podmínky pro pseudoinversi matice tex2html_wrap_inline47308 .

  2. Má-li rovnice tex2html_wrap_inline50046 více řešení, můžeme hledat to ``nejmenší'' z nich (ve smyslu minimalisace tex2html_wrap_inline57289 ). Jelikož pro tex2html_wrap_inline57291 je řešení rovnice tex2html_wrap_inline57293 v ortogonálním doplňku k sloupcovému prostoru tex2html_wrap_inline57295 matice tex2html_wrap_inline47314 , znamená to, že pro obecnégif tex2html_wrap_inline57303 bereme řešení tex2html_wrap_inline50046 kolmé k  tex2html_wrap_inline57307 (abychom získali řešení s minimálním tex2html_wrap_inline57309 ), tedy tex2html_wrap_inline57311 . Takové tex2html_wrap_inline49094 , které je kombinací sloupců tex2html_wrap_inline47314 , lze zapsat jako tex2html_wrap_inline57317 , kde sloupec tex2html_wrap_inline49140 obsahuje právě koeficienty udávající ``jak velké'' kombinace. Má tedy být

    equation43633

    Takže tex2html_wrap_inline57321 je hledanou pseudoinversí v tomto případě. Odůvodněte podrobněji.

    Tato situace je duální minulé, protože pseudoinversi teď hledáme tak, že matici tex2html_wrap_inline47308 nejprve hermitovsky sdružíme, najdeme k ní pseudoinversi podle minulého postupu a tuto opět (nazpátek) hermitovsky sdružíme.

Cvičení. Spočtěte pseudoinverse matic

equation43675

Cvičení. Nechť matice tex2html_wrap_inline47308 má hodnost h. Jakou hodnost mají její Grammova matice tex2html_wrap_inline57329 a její pseudoinverse?


next up previous contents index
Next: Polární rozklad operátoru Up: Dvě maticové bagately Previous: Dvě maticové bagately

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997