next up previous contents index
Next: Říše tensorů Up: Dvě maticové bagately Previous: Pseudoinverse matice

Polární rozklad operátoru

  

V této sekci najdete analogii zápisu komplexního čísla v exponenciálním tvaru

equation43689

pro matice: vyjádříme jakoukoli (nehermitovskou) matici jako komposici matice (resp. operátoru) hermitovské a unitární. Má to velký význam pro řešení různých aproximačních úloh, které jsou snadno řešitelné pro diagonální (resp. hermitovský) operátor. Rozklad obecného operátoru pak umožňuje různé aproximační úlohy řešit obecně, jak uvidíme níže.

Věta. Regulární komplexní matici tex2html_wrap_inline47308 lze zapsat v kterémkoli z následujících třígif tvarů (matice tex2html_wrap_inline57333 jsou unitární - analogie komplexních jednotek tex2html_wrap_inline50998 , matice tex2html_wrap_inline57337 positivně definitní hermitovské a tex2html_wrap_inline51978 je matice positivní diagonální hermitovská - tedy reálná -)

equation43700

a navíc

equation43710

Pro důkaz stačí prodiskutovat spektrální rozklad matice tex2html_wrap_inline57341 , která je nutně hermitovská a positivně definitní. Pišme tedy

equation43734

s unitární tex2html_wrap_inline57343 (vzorcem tex2html_wrap_inline57345 ) a diagonálnígif reálnou positivní tex2html_wrap_inline52648 , která je Jordanovým tvarem tex2html_wrap_inline57341 . Položme proto tex2html_wrap_inline57353 s jinou positivní reálnou diagonální maticí tex2html_wrap_inline51978 . Zřejmě matice

equation43754

je positivně definitní a hermitovská a tex2html_wrap_inline57357 . Položíme ještě

equation43764

a tex2html_wrap_inline54780 bude unitární, neboť tex2html_wrap_inline57361 , a tak tex2html_wrap_inline57363 .

Platí také tex2html_wrap_inline57365 pro tex2html_wrap_inline57367 .

Příklad užití spektrálního rozkladu. Chtějme reálnou tex2html_wrap_inline49578 čtvercovou regulární matici tex2html_wrap_inline47308 ``co nejlépe'' aproximovat maticí tex2html_wrap_inline49538 zadané hodnosti tex2html_wrap_inline57375 . ``Co nejlépe'' zde znamená minimalisovat normu tex2html_wrap_inline57377 pro matice tex2html_wrap_inline49538 hodnosti tex2html_wrap_inline57381 , kde

equation43801

Diskusi proveďte sami, hlavní body postupu v dalším textu formulujeme jako cvičení.

Cvičení.

  1. Ukažte, že daná norma je speciálním případem norem typu

    equation43815

    podrobněji norem odvozených ze ``skalárního součinu matic''

    equation43823

    kde tex2html_wrap_inline57383 je nějaký soubor vektorů v  tex2html_wrap_inline49212 .

  2. Je-li tex2html_wrap_inline47614 systém tvořící ortonormální basi tex2html_wrap_inline49212 , je tex2html_wrap_inline57391 pro každou tex2html_wrap_inline47308 a tedy uvedená norma tex2html_wrap_inline57395 nezávisí na tex2html_wrap_inline47614 .
  3. tex2html_wrap_inline57399 , kde tex2html_wrap_inline57401 , pro libovolný operátor tex2html_wrap_inline54780 účinkující na lineárním obalu tex2html_wrap_inline47614 s unitární maticí vůči tex2html_wrap_inline57407 .
  4. tex2html_wrap_inline57409 pro libovolnou ortonormální basi tex2html_wrap_inline47614 a libovolný unitární tex2html_wrap_inline54780 .
  5. Nechť

    equation43858

    je polární rozklad tex2html_wrap_inline47308 . Zaveďme matici tex2html_wrap_inline57417 vztahem

    equation43866

    a zvažme si, že

    equation43872

    podle vztahu minulého a následujícího triviálního

  6. tex2html_wrap_inline57419 , podle čehož (ve spojení s předminulým bodem) také tex2html_wrap_inline57421 pro unitární tex2html_wrap_inline54780

Závěr. Úlohu o nejlepší aproximaci tex2html_wrap_inline47308 maticí tex2html_wrap_inline49538 dané hodnosti jsme převedli na úlohu o nejlepší aproximaci matice tex2html_wrap_inline57429 , o níž tentokrát smíme předpokládat, že je diagonální a positivní, maticí tex2html_wrap_inline57417 . V této oblasti najdeme řešení lehce: i matice tex2html_wrap_inline57417 bude diagonální a positivní; získáme ji totiž vynulováním patřičného počtu nejmenších diagonálních elementů tex2html_wrap_inline57429 , abychom docílili požadované hodnosti.

Shrnujeme: nejlepší aproximací k  tex2html_wrap_inline47308 je matice

equation43899

kde tex2html_wrap_inline57417 je nejlepší aproximací tex2html_wrap_inline57429 .

Cvičení. Spočtěte pseudoinversi tex2html_wrap_inline57443 diagonální matice tex2html_wrap_inline51978 (nezapadá do případů, které jsme již počítali).

S použitím třetího polárního rozkladu definujte matici

equation43909

a ukažte, že jde o pseudoinversi k  tex2html_wrap_inline47308 .

Cvičení. Je-li tex2html_wrap_inline47308 čtvercová matice, tak tex2html_wrap_inline57329 i tex2html_wrap_inline57453 mají stejný Jordanův (diagonální!) tvar (což je silnější forma tvrzení dokázaného už ve cvičení na konci kapitoly spektrum). Využijte polární rozklad tex2html_wrap_inline47308 .

Cvičení. (Tzv. Golden-Thompsonova nerovnost používaná např. v kvantové teorii pole.gif

Pro libovolné dva hermitovské operátory tex2html_wrap_inline57457 platí nerovnost

equation43928

(přičemž rovnost nastává právě tehdy, když tex2html_wrap_inline47308 a tex2html_wrap_inline49538 komutují).

A vzpomínáte, jak je to pro determinant?

Důkaz. Rozepíšeme levou i pravou stranu jako

equation43938

tak vidíme, že stačí dokázat nerovnosti typu

  equation43951

kde tex2html_wrap_inline57463 označují nějaké mocniny matice tex2html_wrap_inline47308 a podobně u tex2html_wrap_inline57467 .

Předpokládejme, že tex2html_wrap_inline47308 a tex2html_wrap_inline49538 jsou hermitovské matice a matice tex2html_wrap_inline57473 je již dokonce diagonální. (To smíme podle věty o spektrálním rozkladu a díky cykličnosti stopy matice.)

Nerovnost (18.24) pak dostaneme, rozepíšeme-li stopy zmíněných součinů matic v (18.24), z nerovností typu

equation43973

(což je známá nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem!).

Napišme si to podrobněji třeba pro tex2html_wrap_inline57475 a pro tex2html_wrap_inline57477 :

eqnarray41803


next up previous contents index
Next: Říše tensorů Up: Dvě maticové bagately Previous: Pseudoinverse matice

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997