next up previous contents index
Next: Tři definice tensorového součinu Up: Říše tensorů Previous: Říše tensorů

Co jest tensor

 

Zvolivgif rozpravu o počtu tensorovém za předmět této poslední kapitoly, doufám, že se zavděčím čtenářstvu hojnému našemu a to tím více, jelikož v naší mateřštině není mnoho spisů o tomto veledůležitém předmětu jednajících.

Lineární algebra pojednává, jak nám známo již, o předmětech obecných i konkrétních, aby s jedné strany požadavkům dostatečné obecnosti mathematické hověla a s druhé strany poznání toho, s čím se stále stýkáme v mathematice i v přírodozpytu, rozšířovala; neb které vědomosti byly by prospěšnější nežli ty, které schopnosti abstrakce mathematické rozvinují a navíc nám obcování v přírodě a s přírodou usnadňují?

Poohlédneme-li se na naši dosavadní činnost, poznáme ihned, že prvnímu účelu bylo především hoveno; převládajíť valně v textu našem konstrukce abstraktní, ač i v těch mnoho konkretního jest jak čtenářstvo naše zajisté poznalo.

Zvoliv tedy nyní předmět počtu tensorového za naši rozpravu, budiž hned zpředu podotknuto, že předmět, jež jsem pro čtenářstvo své hojné dle skrovných sil svých upravil, bude pojednán v obecnosti ne menší, než dosavadní themata naše, čímž jsem se arci vzdal naděje, že by všichni čtenářové všemu stejně porozuměli; vyžadujíť základní konstrukce theorie tensorové některé dřívější abstraktní konstrukce např. theorii dvojčatosti jakož i základy Cantorova počtu množstevního.

Spis tohoto druhu nesmí se porovnávati s povídkami, které jednou byvše přečteny obyčejně ztrácí všechnu cenu, nýbrž sluší se jej pokládati za nutný člen prostonárodní knihovny studentské.gif  

Tensor jako multilineární zobrazení. Bylo by omylem považovat pojem multilineárního zobrazení za přípravu k studiu funkce více proměnných v analýze. Spíše je možné říci toto: pojem lineárního zobrazení odpovídá těm situacím v analýze (typicky více proměných), kdy nás zajímá diferenciál prvního řádu. Pojem kvadratické formy nastupuje v analýze tam, kde informace daná diferenciálem prvního řádu je příliš triviální. (Přechod od kvadratické formy k bilineární formě je pro analýzu ovšem zcela formální záležitostí.) Zato však existují v analýze, a mnohem četněji v geometrii a fysice objekty, popsané multilineárními formami. Zatím jsme měli jediný netriviální příklad multilineární funkce více než dvou proměnných: šlo o pojem determinantu.

Teorii tensorů je možno budovat na prostorech se skalárním součinem (viz např. knihu J.Kvasnici), což často dostačuje pro aplikace a což je možná pro začátečníky ``stravitelnější'', neb nevyžaduje pojem duálního prostoru; po pravdě řečeno se však pojem duálního prostoru spíše jenom dokonale zamaskuje tím, že se ztotožní duál s původním prostorem pomocí věty o representaci a transformace souřadnic se provádějí pouze ortogonální.

Teorii tensorů je možno ovšem budovat i obecně na lineárních prostorech i bez skalárního součinu; skalární součin se potom používá jen k některým speciálním konstrukcím. Tento postup je v současné literatuře častější, je logičtější a asi i jednodušší (i když nikoli nutně pro začátečníky). Přidržíme se ho již proto, že kapitola o dualitě má smysl především s ohledem na budování teorie tensorů. Když jsme již dualitu zvládli (haha?), bylo by nesmyslné zavádět tensory nějakým speciálnějším způsobem.

Příklady tensorů.

Abyste mohli lépe číst další text, osvěžte si, co je to faktorprostor (v hledání vám pomůže rejstřík).

Vysvětlete, proč je faktorprostor tex2html_wrap_inline48468 podle tex2html_wrap_inline48668 speciálním případem faktormnožiny , tzn. množiny všech tříd ekvivalence   tex2html_wrap_inline47306 typu

equation44041

(ekvivalence je relace, která je reflexivní, symetrická a transitivní) pro speciální ekvivalenci

equation44044

Definice formálního lineárního obalu. Budeme potřebovat ještě jednu abstraktní konstrukci, totiž vytvoření vektorového prostoru nad zvolenou basí. Následující definici lehce pochopíte, představíte-li si dobře známý lineární prostor tex2html_wrap_inline47328 jako formální lineární obal množiny tex2html_wrap_inline57525 .  

Formálním lineárním obalem tex2html_wrap_inline57527 množiny X budemegif mínit množinu všech (reálných či komplexních podle kontextu) funkcí na množině X. Každý prvek tex2html_wrap_inline57535 lze zapsat ve tvaru

equation44057

kde vektor tex2html_wrap_inline57537 označuje funkci tex2html_wrap_inline57539 . V případech, o nichž budeme mluvit, budeme (i pokud X bude nespočetná) kombinovat konečný počet jejích prvků. V případech složitějších (např. chceme-li Hilbertův prostor kvantové mechaniky jedné částice popsat jako komplexní formální lineární obal prostoru tex2html_wrap_inline49022 ) bychom sumu (alespoň formálně) nahradili nějakým integrálem, Kroneckerovo delta nějakou delta-funkcí atd.


next up previous contents index
Next: Tři definice tensorového součinu Up: Říše tensorů Previous: Říše tensorů

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997