next up previous contents index
Next: Měření plošných obsahů Up: Říše tensorů Previous: Operace s tensory

Symetrické a antisymetrické tensory

Doufejme, že nikoho moc nemrzí, že již delší dobu mluvíme spíše o ``souřadnicích'' tensorů než o tensorech. Vždy mluvíme o tensoru, zapsaném ve standardním tvaru (součet tensorových součinů vektorů base - a duálních vektorů base - násobených příslušnou ``souřadnicí'').

Nyní si budeme všímat symetrie a antisymetrie vůči permutacím některé skupiny indexů (musí být všechny horní nebo všechny dolní) a s eventuálními ostatními indexy tensoru nebudeme hýbat. Pro konkrétnost, budeme mluvit o tensoru, který jiné takové indexy nemá, a budeme se zabývat (anti)symetrií vůči permutacím n dolních indexů (souřadnic).

  Definice. Nazvěme (anti)symetrisacígif tensoru se souřadnicemi  tex2html_wrap_inline57983 tensor

equation44890

kde sčítáme přes všechny permutace tex2html_wrap_inline49270 množiny písmen pro indexy tex2html_wrap_inline57987 a tex2html_wrap_inline57989 píšeme v případě antisymetrisace. Pokud je to možné, píšeme místo textu ``(anti)sym'' závorky kolem indexů, podle nichž (anti)symetrisujeme, např.

equation44900

Faktor 1/n! je volen tak, aby dvojí provedení (anti)symetrisace dalo totéž, co provedení jediné. (Anti)symetrisací totiž dostaneme (anti)symetrický tensor, to jest takový, že pro každou permutaci tex2html_wrap_inline49270

equation44910

Mnohé užitečné tensory bývají symetrické (kvadratické formy, moment setvačnosti atd.), mnohé antisymetrické (determinant, tensor elektromagnetického pole  tex2html_wrap_inline57995 , sjednocující vektor elektrické intensity a magnetické indukce v teorii relativity).

Samozřejmě, zajímavé by mohlo býti i studovat (anti)symetrii(isaci) vůči záměnám dvojic indexů; např. velký tensor křivosti tex2html_wrap_inline57997 je nejen antisymetrický vůči záměně tex2html_wrap_inline57999 jakož i tex2html_wrap_inline58001 , ale je také symetrický vůči záměně oněch dvojic indexů

equation44915

Těmito otázkami se nebudeme příliš zabývat.

Symetrisace tensoru tex2html_wrap_inline58003 , kde tex2html_wrap_inline48566 jsou vektory (nebo obecněji symetrické tensory) se někdy označuje symbolem

equation44925

Obdobně antisymetrisace tensoru tex2html_wrap_inline58003 , kde tex2html_wrap_inline48566 jsou vektory (nebo obecněji antisymetrické tensory) se (vždy) označuje symbolem ``skobka''

equation44941

a nazývá se vnějším (Grassmannovým) součinem vektorů (...) tex2html_wrap_inline58011 .

Mimo jiné, pro tensor zadaný abstraktně multilineární formou na tex2html_wrap_inline58013 definujeme (anti)symetrii takto:

Definice. Multilineární formu f nazveme (anti)symetrickou, pokud pro všechny n-tice vektorů z  tex2html_wrap_inline51390 platí vztah

equation44956

Cvičení. Vyjádříme-li f složkovým zápisem

equation44969

pak je definice nová v souladu se starou.

Definice. Symetrisovaným tensorovým součinem tex2html_wrap_inline58023 rozumíme množinu všech možných kombinací tensorů typu tex2html_wrap_inline58025 . (Na tex2html_wrap_inline58023 máme přirozeně zadanou lineární strukturu, ověřte.)

Abstraktně lze tex2html_wrap_inline58023 definovat jako faktorisaci prostoru tex2html_wrap_inline58031 podle podprostoru generovaného všemi prvky tvaru

equation44998

(Ve složkách to znělo jednodušeji, nebo ne?)

Ukažte, že každé symetrické zobrazení tex2html_wrap_inline58033 - tj. takové, že tex2html_wrap_inline58035 - lze jednoznačně rozšířit na lineární zobrazení na tex2html_wrap_inline58023 .

Definice. Obdobně antisymetrisovaným tensorovým součinem tex2html_wrap_inline58039 rozumíme množinu všech možných kombinací tensorů typu tex2html_wrap_inline58041 . (Na tex2html_wrap_inline58039 máme přirozeně zadanou lineární strukturu, ověřte.)

Abstraktně tento prostor definujeme jako faktorisaci tex2html_wrap_inline58045 podle jeho podprostoru generovaného prvky

equation45032

čímž ve faktorisaci ztotožníme tensory tex2html_wrap_inline58047 a tex2html_wrap_inline58049 . Obecněji, prostor tex2html_wrap_inline58051 (napravo m-krát tex2html_wrap_inline51390 ) definujeme jako faktorisaci tex2html_wrap_inline58057 podle podprostoru tex2html_wrap_inline47740 generovaného tensory typu

equation45057

kde tex2html_wrap_inline49270 je permutace na indexové množině tex2html_wrap_inline50546 . Příslušnou třídu tex2html_wrap_inline58065 označujeme symbolem tex2html_wrap_inline58067 .

Cvičení. Je-li tex2html_wrap_inline58069 , je tex2html_wrap_inline58071 .

Návod. Každý prvek tex2html_wrap_inline58073 je lineární kombinací prvků tvaru tex2html_wrap_inline58067 , kde tex2html_wrap_inline47470 volíme z nějaké base tex2html_wrap_inline51390 . Pro tex2html_wrap_inline58069 se musí některý prvek tex2html_wrap_inline47470 vyskytnout ve výrazu tex2html_wrap_inline58067 alespoň dvakrát; transponujeme-li tyto dvě kopie mezi sebou, uvedená transposice na tensoru nic nemění, z druhé strany však podle antisymetrie mění znaménko tensoru. Pouze nulový tensor se rovná svému opaku.

Definice. Podobně jako u obecných, lze i u antisymetrisovaných tensorů mluvit o rozložitelnosti  tensoru tex2html_wrap_inline58087 , existují-li vektory tex2html_wrap_inline54468 takové, že tex2html_wrap_inline58091 .

Příklad. Každý tensor z  tex2html_wrap_inline58093 je rozložitelný, což souvisí (jak zanedlouho uvidíte) s tím, že ho vždy lze zapsat (a to nekonečně mnoha způsoby, a to nejen volbou tex2html_wrap_inline49990 ) jako ``vektorový součin'' dvou vektorů.

Naopak, už tensor tex2html_wrap_inline57685tex2html_wrap_inline58099 nemusí být rozložitelný, jako například ( tex2html_wrap_inline58101 tvoří basi tex2html_wrap_inline52044 )

equation45129

Důkaz. Pokud by tex2html_wrap_inline58105 , byl by tzv. anulátor 

equation45149

alespoň dvourozměrný, protože tex2html_wrap_inline58109 An tex2html_wrap_inline58111 !

Na druhé straně, je-li tex2html_wrap_inline58113 , tak

equation45176

což je rozklad nějakého tensoru vůči basi tex2html_wrap_inline58115 a je tedy nulový jen pokud jsou všechna tex2html_wrap_inline48120 nulová, anulátor tedy obsahuje jen nulový vektor.

Fysikální příklad. ( tex2html_wrap_inline47304 ) Už jsme mluvili o tom, že v kvantové mechanice je Hilbertův prostor stavů dvou různých částic (např. protonu a elektronu) tensorovým součinem prostorů těchto částic samotných. Vezmeme-li symetrický resp. antisymetrický produkt N kopií prostoru stavů jednoho bosonu resp. fermionu (částice s celočíselným resp. poločíselným spinem, např. fotonu, alfa-částice resp. elektronu, protonu atd.), dostaneme prostor stavů soustavy N těchto částic.

Poznámka. Formální direktní součet  (kartézský součin prostorů se sčítáním definovaným ``po komponentách'')

equation45211

se nazývá symetrickou algebrougif lineárního prostoru tex2html_wrap_inline51390 .  Někteří to raději píší jako

equation45227

a nazývají to exponenciálou  daného vektorového prostoru. Prvky této algebry lze interpretovat jako formální mocninné řady nad tex2html_wrap_inline51390 . Symetrická algebra prostoru je vždy nekonečněrozměrným prostorem.

Na druhé straně antisymetrická algebra lineárního prostoru tex2html_wrap_inline51390 zapsaná jako direktní součet

equation45249

má pro konečněrozměrné tex2html_wrap_inline51390 dimensi konečnou, konkrétně řečeno

equation45258

protože skobky tex2html_wrap_inline58067 z různých vektorů base tvoří basi tex2html_wrap_inline58181 . (Kombinační číslo n nad k snad znáte.)

Mluvili-li jsme o prvcích symetrické algebry jako o formálních mocninných řadách, existence tex2html_wrap_inline58187 nám dává tušit, že by mohlo existovat něco jako analýza antikomutujících proměnných. (Objev lze připsat Berezinovi do roku 1969.)

Opravdu, představme si sadu tex2html_wrap_inline58189 ) antikomutujících proměnnýchgif analogických komutujícím tex2html_wrap_inline48962

equation45272

kde tex2html_wrap_inline52598 označuje antikomutátor (vztah tex2html_wrap_inline58197 mimo jiné implikuje tex2html_wrap_inline58199 ), a uvažme, že každou funkci těchto proměnných lze zapsat jako

equation45274

v kteréžto formuli se vyskytuje tex2html_wrap_inline58201 nezávislých koeficientů   (tensory tex2html_wrap_inline47898 jsou antisymetrické). Sčítat můžeme jen členy grassmannské s grassmannskými nebo negrassmannské s negrassmannskými, tudíž bude polovina tensorů tex2html_wrap_inline47898 nulová; podle toho, která to bude, bude funkce f grassmannská nebo negrassmannská.

Můžeme také parciálně derivovat podle i-té proměnné a pravidla

equation45280

a integrovat; integrování je v tomto světě totéž co derivování a jsme-li důslední, je i hermitovsky sdruženým operátorem k danému tex2html_wrap_inline58211 . Lze efektně mluvit i o delta-funkci:

equation45288

Antikomutující (fermionovské...) proměnné hrají velkou roli v supersymetrii, superstrunách atd.     

Matematické možnosti, skryté pod těmito pojmy, jsou důležité v kvantové teorii pole. Buď například tex2html_wrap_inline51390 Hilbertův prostorgif stavů jednoho elektronu (pro názornost mluvme o basi tohoto prostoru obsahující vektory tex2html_wrap_inline58217 , stejně tak bychom mohli vzít basi ``elektron se spinem nahoru/dolů v bodě tex2html_wrap_inline49094 '' apod.)

Antisymetrická algebra je teď (stejně jako tex2html_wrap_inline51390 ) nekonečněrozměrná a tvoří Hilbertův prostor, který je direktním součtem n-elektronových Hilbertových prostorů pro tex2html_wrap_inline58225 . Stavy tvořící jeho basi lze psát např. jako

equation45295

kde tex2html_wrap_inline52600 znamená vakuum  a tex2html_wrap_inline58229 apod. jsou kreační operátory přidávající elektron do daného stavu. Snad v tom vidíte jednak antisymetrisovaný tensorový součin

equation45300

a jednak Pauliho princip: tím, že byste kreovali dva elektrony do jednoho stavu, byste dostali nulový vektor (prvek antisymetrisované algebry).


next up previous contents index
Next: Měření plošných obsahů Up: Říše tensorů Previous: Operace s tensory

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997