next up previous contents index
Next: Spinory Up: Říše tensorů Previous: Měření plošných obsahů

Tensory v obecné relativitě

  

( tex2html_wrap_inline47304 ) Jak funguje Einsteinova gravitační teorie matematicky?

Máme čtyři souřadnice tex2html_wrap_inline58463 , tex2html_wrap_inline58465 a různé tensory jsou jejich funkcemi. V prvních řadách, jde o metrický tensor tex2html_wrap_inline57483 . Ten udává v každém bodě geometrii. Chceme-li zjistit, jaká je délka (její čtverec) malého vektoru o složkách tex2html_wrap_inline58469 umístěného v bodě tex2html_wrap_inline58463 , použijeme vztah

equation45765

s Einsteinovou sumační konvencí přes všech 16 kombinací hodnot indexů tex2html_wrap_inline58001 .

Mimo jiné, metrika stačí na formulaci zákona pohybu tělesa v gravitačním poli (zákona kosmické lenivosti):  tělesa se mezi dvěma body časoprostoru pohybují po takové dráze, aby vlastní čas, který na dráze naměří, byl maximální možný (alespoň ve srovnání s blízkými dráhami).

equation45768

Tento tensor předpokládejme symetrický (obecně lze tensor druhého řádu napsat jako součet symetrické a antisymetrické části a antisymetrická část nepřispívá k  tex2html_wrap_inline58475 ) a užívejme ho na spouštění indexů: máme-li například tensor o složkách tex2html_wrap_inline58477 , mluvme také o tensoru se složkami tex2html_wrap_inline58479 , které vypočítáme

equation45770

Dále si spočtěme inversní tensor (jakožto inversní matici) tex2html_wrap_inline53146 takový, aby

equation45775

Podotkněme, že speciální teorii relativity získáme požadavkem konstantního tex2html_wrap_inline57483 .

equation45779

(Stejné složky pak má i tex2html_wrap_inline53146 .) Tensoru tex2html_wrap_inline53146 lze pak užít pro zvedání indexů:

equation45787

Dále má smysl mluvit o determinantu tex2html_wrap_inline57483 (podívej se, že pro speciálně relativistickou metriku je záporný), ba o odmocniněgif z jeho opačné velikosti. Často se o ní mluví jako o skaláru tex2html_wrap_inline58495 , ale po pravdě jde z hlediska transformačních vztahů přesně o antisymetrickýgif  tensor Levi-Civitta se čtyřmi indexy dole, což oceníte pohledem na indexově správnou rovnici níže:

equation45792

Každý tensor lze derivovat. Derivaci podle tex2html_wrap_inline58463 značíme tex2html_wrap_inline58501 namísto neprůhledného tex2html_wrap_inline58503 , takže

equation45804

Tímto způsobem lze z tensoru dostat veličinu s jedním indexem dole navíc.

Takto získaná veličina se však nebude transformovat ``správným způsobem'' při transformaci souřadnic (nepůjde-li o derivaci skaláru nebo obecněji o vnější - tj. antisymetrisovanou derivaci diferenciální formy, tj. úplně antisymetrického tensoru).  

Co je to ``správný způsob transformace''? Na čtyřrozměrném časoprostoru mějme dvě sady souřadnic; každému bodu přiřaďme dvě čtveřice čísel tex2html_wrap_inline58463 a tex2html_wrap_inline58507 (to, že jde o souřadnice v čárkovaném systému, značíme pouze čárkami u indexů). Lze si (alespoň lokálně) představit tex2html_wrap_inline58463 jako funkce tex2html_wrap_inline58507 nebo i naopak. Potom správný vztah mezi složkami nějakého tensoru tex2html_wrap_inline57685 musí být

equation45811

Například, jsou-li tex2html_wrap_inline58463 a tex2html_wrap_inline58517 svázány lineárně ( tex2html_wrap_inline58519 je konstantní)

equation45824

platí po zderivování např.

equation45830

a vztah mezi tensory lze psát ( tex2html_wrap_inline58521 jsou elementy inversní matice)

equation45837

Pouhým zderivováním prvního vztahu mezi složkami v různých systémech (aplikací tex2html_wrap_inline58523 zleva) se přesvědčíte, že tex2html_wrap_inline58525 nemá v čárkovaném systému požadovaný tvar

equation45854

ale obsahuje navíc členy typu

equation45859

z nichž vliv nečárkovaného systému nevypudíme. Zajisté, pro zmíněnou lineární transformaci souřadnic vymizí, nikoli však obecně.

Východisko spočívá v zavedení kovariantní (Christoffelovy) derivace . Definujeme Christoffelův symbol   předpisem

equation45863

(sám se netransformuje jako správný tensor) a místo derivace tex2html_wrap_inline58501 užívejme kovariantní derivaci tex2html_wrap_inline58529 , která obsahuje navíc členy, které se ``navěsí'' následujícím způsobem na každý index derivovaného tensoru

equation45875

Pouhými úpravami si můžete dopočítat, že tex2html_wrap_inline58531 , tex2html_wrap_inline58533 a že tex2html_wrap_inline58535 se již transformuje správným způsobem.

Také je zajímavé, že i kovariantní derivace splňuje Leibnizovo pravidlo (pro derivování součinu) 

equation45893

Mimo jiné, pokud se budete snažit nalézt správně se transformující tensor, obsahující druhé derivace metriky, dostanete Riemannův tensor křivosti  

equation45908

z něhož nás často zajímá jen úžení, tzv. tensor Ricciho  

equation45921

a skalární křivost

equation45927

Můžete ověřit, že Riemannův tensor je antisymetrický vůči záměně indexů prvé nebo poslední dvojice a symetrický vůči záměně těchto dvojic a že splňuje cyklické pravidlo

equation45932

Díky těmto vlastnostem je jasné, že Riemannův tensor ve dvou dimensích má jen jednu nezávislou složku tex2html_wrap_inline58537 a ve čtyřech dimensích složek tex2html_wrap_inline58539 . Riemannův tensor má jednu názornou interpretaci: objedeme-li vektorem V obrys infinitesimální dvojrozměrné plochy popsané antisymetrickým tensorem tex2html_wrap_inline58543 tak, abychom se chovali jako v plochém prostoru  a s vektorem neotáčeli (paralelní posun), potom se nám vektor V trochu stočí o hodnotu

equation45937

Při všech uzavřených objížďkách vektor může rotovatgif rotací z grupy známé jako grupa holonomií.   V plochém prostoru je to jen triviální grupa s jediným prvkem, v náhodně vybraném zakřiveném prostoru to bývá grupa tex2html_wrap_inline51194 , kde n je dimense variety  (anglicky manifoldu,  to jest onoho zakřiveného prostoru, o němž jde řeč, který si lze představit, že je umístěný ve vícerozměrném prostoru). Existují však i variety s grupou holonomií tex2html_wrap_inline51214 .

Již jen dodáme, že pomocí Ricciho tensoru se formuluje deset rovnic gravitace (nebo jedna tensorová, chcete-li), popisujících zakřivení prostoru v závislosti na hmotě v něm

equation45947

kde tex2html_wrap_inline49226 je nějaký součin Newtonovy gravitační konstanty a dalších konstant (obvykle stavíme c=1) a tex2html_wrap_inline58557 je tensor hmoty: v případě speciální relativity vyjadřuje hustotu (pro tex2html_wrap_inline58559 ) nebo hustotu toku (pro tex2html_wrap_inline58561 ) energie (pro tex2html_wrap_inline58563 ) nebo složky hybnosti ( tex2html_wrap_inline58565 ).

Když už jsme se zmínili o kovariantní derivaci, je na místě také pohovořit o jiné kovariantní derivaci, taktéž splňující Leibnizovo pravidlo (předpokládáme-li, že náboj pole, které je součinem dvou polí, je součtem nábojů těchto polí), totiž

equation45953

pro případ elektromagnetismu a analogických v případě silných či elektroslabých interakcí.

Daná derivace vynásobená i dává

equation45955

kde q je náboj pole a tex2html_wrap_inline58571 je čtyřpotenciál. V teoretické mechanice či jinde budete hovořit o  tex2html_wrap_inline58573 jako o (operátoru) zobecněné hybnosti  a tex2html_wrap_inline58575 odpovídá onomu klasickému součinu hmotnosti a (čtyřvektoru) rychlosti.

Názorný výklad souvislostí s Christoffelovou derivací dávají Kaluzovy-Kleinovy teorie. Předpokládejme, že kromě obvyklých čtyř souřadnic v časoprostoru máme ještě pátou tex2html_wrap_inline58577 , která se neprojevuje, protože je cyklická s periodou tex2html_wrap_inline58579 , neboli protože je svinutá (kompaktifikovaná) na kružnici o (malinkém) poloměru R.   Pak lze pole (jež je funkcí pěti souřadnic) rozvinout do (komplexní) Fourierovy řady podle souřadnice tex2html_wrap_inline58583 :

equation45957

Uvědomme si, že k lze interpretovat jako náboj pole tex2html_wrap_inline57191 vyjádřený v elementárních nábojích, a zajímejme se zvláště o pole (pro konkrétnost) tex2html_wrap_inline58591 , které se mění v závislosti na páté souřadnici jako tex2html_wrap_inline58593 .

Budiž element metriky tex2html_wrap_inline58595 konstantní (pro určitost -1 jako např. tex2html_wrap_inline58599 ), zato elementy tex2html_wrap_inline58601 tex2html_wrap_inline58603 ztotožníme s potenciálem (až na konstantu) a derivaci tex2html_wrap_inline58529 tex2html_wrap_inline58603 počítejme ve směru, v němž je tex2html_wrap_inline57483 diagonální:

equation45961

Ovšem tex2html_wrap_inline58611 lze díky zvolené závislosti na páté souřadnici psát jako násobení faktorem ik/R.

Kalibrační invarianci lze vyložit jako speciální případ invariance vůči transformacím souřadnic. Pokud v každém bodě tex2html_wrap_inline58615 určíme tex2html_wrap_inline58617 (dostatečně pomalu se měnící, abychom neohrozili konstantnost tex2html_wrap_inline58595 ), pole tex2html_wrap_inline57191 se násobí v každém bodě komplexní jednotkou

equation45964

a elementy metriky tex2html_wrap_inline58601 se změní podle standardního pravidla pro transformaci tensoru při transformaci metriky

equation45966

v čemž dobře rozpoznáme vzorce pro změnu potenciálu.


next previous contents index
Next: Spinory Up: Říše tensorů Previous: Měření plošných obsahů

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997