next up previous contents index
Next: Jak to všechno funguje? Up: Říše tensorů Previous: Tensory v obecné relativitě

Spinory

  

Viděli jsme, že lze konstruovat tensory s libovolným počtem indexů nahoře a dole. V této sekci ukážeme, že je možné i cosi opačného, totiž zavést ``poloviční'' indexy, abychom veličinu transformující se jako vektor získat jako součin dvou elementárnějších objektů, říkejme jim  spinvektory, podobně, jako jsme získali tensor (tensorovým) násobením dvou vektorů.

Hned na počátku upozorňujeme, že budeme mluvit o případu speciální (!) teorie relativity, tj. budeme uvažovat jen transformace grupy tex2html_wrap_inline51254 (kterou nahradíme tex2html_wrap_inline58627 , která je s ní až na diskrétní rozdíly isomorfní) a nikoli celé grupy tex2html_wrap_inline58629 (a nakonec se podíváme na její podgrupu prostorových rotací tex2html_wrap_inline48228 , nahraženou tex2html_wrap_inline51212 , a nikoli na tex2html_wrap_inline58635 ).

Spinory je možné užívat efektivně i v obecné relativitě, ale postup v zásadě spočívá v zavedení v každém bodě nové base (tzv. stonožky nebo v případě čtyř rozměrů čtyřnožky, pro které se  vžila německá označení vielbein a vierbein), která se chová jako obvyklá base ve speciální relativitě.

Začneme trochu neočekávaně přímo přepisem vektoru do spinorové formy: vektorové indexy mohly nabývat čtyř různých hodnot. My sestavíme ze složek reálného vektoru tex2html_wrap_inline58637 čtyři kombinacegif

equation45977

které však již nejsou reálné, ale splňují

equation45986

kde indexy A,B nabývají hodnot 0,1 a indexy tex2html_wrap_inline58649 hodnot tex2html_wrap_inline58639 (zápis byl jen zkratkovitý, pod tex2html_wrap_inline58653 jsme zde měli na mysli B, nad nímž se nakreslí pruh, v dalším textu index A nebude souviset s  tex2html_wrap_inline58659 o nic více, než s  tex2html_wrap_inline58653 ). Používáme upraveného formalismu Rogera Penrose a Wolfganga Rindlera, kteří místo pruhů píší čárky; úprava nespočívá jen v tomto; my budeme vždy uvažovat tak, že pokud existuje nějaký spinor např.

equation45993

potom existuje i spinor

equation45996

který má komplexně sdružené složky (v případě, až půjde o operátory, budou hermitovsky sdružené) a spinor se stejným počtem pruhovaných a nepruhovaných indexů splňuje určitou podmínku reálnosti, analogickou podmínce pro vektor. Např.

equation45999

Za určitou dobu bude také zřejmé, že naše podmínky zůstanou splněny i po transformaci.


next up previous contents index
Next: Jak to všechno funguje? Up: Říše tensorů Previous: Tensory v obecné relativitě

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997