next 
up previous contents index
Next: Tensory a nezávislé jevy Up: Spinory Previous: Trojrozměrné transformace

Diracova rovnice

Pochopíte-li následující odstavce, budete se moci cítit velmi chytře, až uslyšíte, že např. relativistickou invarianci Diracovy rovnice   dokázal až dvacet let po jejím objevení český fysik Trkal. (To samozřejmě není tak úplně pravda.)

Když hledali lidé vhodnou relativistickou úpravu Schr”dingerovy   rovnice, napadla je zprvu Klein-Gordonovagif rovnice, která operátorově vyjadřuje vztah (užíváme jednotky tex2html_wrap_inline58901 )

equation46281

Tato rovnice je relativisticky korektní, abychom ji převedli do Hamiltonova formalismu (kde se vyskytují jen první derivace), musíme zvolit funkci dvousložkovou ( tex2html_wrap_inline58903 a tex2html_wrap_inline58905 ) a nakonec zjistíme, že se pro elektron vůbec nehodí (hodí se pro pion).

Hledáme jiné vylepšení Schr”dingerovy rovnice

equation46288

a napadá nás nahradit tex2html_wrap_inline58907 relativisticky správným výrazem tex2html_wrap_inline58909 . Tuto odmocninu nám nezbývá počítat jinak než jako nekonečnou řadu obsahující jakkoli vysokou mocninu tex2html_wrap_inline55891 čili jakkoli vysokou derivaci a ze zkušeností Taylorova vzorce (kde jsme posun vyjádřili jako exponenciálu derivace) je nám zřejmé, že výsledná teorie bude nelokální: funkce tex2html_wrap_inline55518 v okamžiku t+dt bude ovlivněna funkcí tex2html_wrap_inline55518 v čase t v jakkoli vzdálených bodech.

Přesto se Diracovi podařilo tex2html_wrap_inline58921 odmocnit lokálně; začal totiž operovat s vícesložkovou vlnovou funkcí. V našem spinorovém jazyce lze říci, že diracovskou vlnovou funkci tvoří dva spinory

equation46294

každý z nichž se skládá z dvou komplexních složek. (Index tex2html_wrap_inline58659 resp. A může být buď nula - pak jde o amplitudu, že má elektron spin nahoru - nebo jedna - spin dolů.) Rovnice napíšeme ve tvaru

equation46298

kde tex2html_wrap_inline58927 je operátor čtyřhybnosti, tex2html_wrap_inline58929 je čtyřpotenciál, m klidová hmotnost elektronu a e jeho náboj (záporný).

Obvykle se píše Diracova rovnice ve formě matic. Píšeme-li složky vlnové funkce pod sebe do sloupce tex2html_wrap_inline58935

equation46309

nabudou rovnice tvar jedné

equation46313

kde tex2html_wrap_inline58937 jsou Diracovy matice tex2html_wrap_inline52042   , které mají v naší spinorové representaci tvar

equation46319

equation46333

Všimněte si, že dvě různé Diracovy matice antikomutují a čtverec tex2html_wrap_inline58941 je jednotková, čtverec zbylých minus jednotková matice, což zapíšeme

equation46348

Navíc i-krát časová derivace tex2html_wrap_inline58935 , kterou píšeme pomocí hamiltoniánu jako tex2html_wrap_inline58947 , dá pro hamiltoniángif

equation46353

kde jest použito obvyklé značení pro matice tex2html_wrap_inline58949 , tex2html_wrap_inline58951 . Pouhým užitím antikomutačních pravidel pro matice zjistíte, že

equation46366

což jsme na počátku chtěli.

Čtyři složky bispinoru  jsme vybrali určitým způsobem. Stejně tak lze ale pracovat s libovolnými lineárními kombinacemi těchto složek; lze vyjádřit tex2html_wrap_inline58935 ``v jiné basi''. Tvary tex2html_wrap_inline58955 -matic se změní, zůstanou však antikomutační relace, tex2html_wrap_inline58957 zůstane hermitovská a tex2html_wrap_inline58959 antihermitovské (pro unitární transformace).

Tak například počítáme-li, na co přechází rovnice v nerelativistickém případě (když třeba ukazujeme, že magnetický moment spojený se spinem je dvojnásobný ve srovnání s orbitálním pohybem), volíme tzv. standardní representaci, jelikož v ní jsou poslední dvě složky mnohem menší než první dvě (ve spinorové byly první a poslední dvě v nerelativistické limitě stejné).

equation46373

Cvičení. Odvoďte tvar tex2html_wrap_inline58955 -matic ve standardní reprentaci. ( tex2html_wrap_inline47306 )


next previous contents index
Next: Tensory a nezávislé jevy Up: Spinory Previous: Trojrozměrné transformace

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997