next up previous contents index
Next: Vícenásobné konvoluce Up: Říše tensorů Previous: Diracova rovnice

Tensory a nezávislé jevy

Vraťme se na závěr z výšin obecné relativity a Diracových rovnic k něčemu přízemnějšímu - třeba k diskusi, co je to střední (kvadratická) chyba měření (v praktikách se s ní potkáte dosti, pokud po vás nebudou chtít chyby ``mezní''), neboť i zde je tensor užitečným nástrojem. Nevěříte? Uveďme pár poznámek na téma ``nezávislost v teorii pravděpodobnosti''. Asi již na střední škole jste slyšeli

definici. Dvě náhodné veličiny F a G nabývající konečně mnoha hodnot nazveme nezávislé , pokud

equation46389

přičemž tex2html_wrap_inline58969 značí pravděpodobnost události, že F nabývá hodnoty x. (Nebudeme dále formalisovat tento pojem, to je úkolem teorie pravděpodobnosti.) Připomeňme pojem míry na konečné množině (ve skutečnosti jde o prvek duálu k prostoru funkcí na X, pro konečné X však na této interpretaci příliš nezáleží):

Definice. Je-li X konečná množina, tak nezápornou míru na X, to znamená funkci tex2html_wrap_inline58983 takovou, že tex2html_wrap_inline58985 , nazveme pravděpodobností , pokud tex2html_wrap_inline58987 .

Vezměme nyní tensorový součin formálních lineárních obalů X a Y (pro nekonečné metrické prostory X,Y se bere tensorový součin duálů k prostorům spojitých funkcí na X resp. Y, jak jsme již poznamenali na straně gif; nás teď pro jednoduchost zajímají jen konečné množiny). Je-li p resp. q pravděpodobnost (obecněji míra) na X resp. Y, tak pravděpodobnost (či míru) tex2html_wrap_inline59007 definovanou vztahem

equation46397

nebo prostěji tex2html_wrap_inline59009 nazveme tensorovým součinem p a q. (Někteří mluví o direktním součinu, jiní jen o součinu; tensor to však je!)

Poznámka. Pro člověka s ``kategoriálním'' náhledem na matematiku, kterého již na obecné škole přesvědčili (...) o důležitosti pojmu kartézského součinu množin, by nemělo být překvapením, že pojem tensorového součinu pravděpodobností popisuje něco fundamentálního.

Definice. Pravděpodobnost p na ``stavovém prostoru'' X nazveme rozdělením pravděpodobnosti náhodné veličiny F, pokud

equation46399

Tvrzení. Nechť mají náhodné veličiny F resp. G rozložení pravděpodobnosti p resp. q (na X resp. Y). Označme symbolem tex2html_wrap_inline47972

equation46402

tzv. sdružené rozložení F a G. Potom F a G jsou nezávislé

equation46405

Máme-li dvě náhodné veličiny tex2html_wrap_inline59043 s oborem hodnot v nějaké komutativní grupě tex2html_wrap_inline47510 - třeba výsledky dvou nezávislých měření - můžeme chtít studovat součet tex2html_wrap_inline59047 . Raději bychom zde viděli tex2html_wrap_inline47396 namísto konečné grupy, tím bychom ale vnesli hned na úvodu do našeho výzkumu technické komplikace, které přenecháme pozdějším kursům analýzy a teorie pravděpodobnosti. Přicházíme zde opět k důležitému pojmu konvoluce  (tentokráte pravděpodobností, srovnej však se stranou gif).

Definice. Nechť p a q jsou pravděpodobnosti (obecněji míry) na konečné komutativní grupě tex2html_wrap_inline47510 . Pravděpodobnost (míru) danou předpisem

equation46411

nazveme konvolucí p a q a budeme ji označovat p*q. Je to tedy další pravděpodobnost; p*q(g) udává pravděpodobnost, že součet h+i je g, kde h resp. i má rozdělení p resp. q.

Tvrzení. Obrazem tensorového součinu tex2html_wrap_inline59007 při zobrazení tex2html_wrap_inline59083 je právě konvoluce pravděpodobností p a q.

Podobně se definuje konvoluce více pravděpodobností (měr); důkaz komutativity a asociativity (díky ní lze vynechávat závorky) si provede každý sám.

equation46420


next up previous contents index
Next: Vícenásobné konvoluce Up: Říše tensorů Previous: Diracova rovnice

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997