next up previous contents index
Next: Permutace Up: Kdo je grupa a Previous: Kdo je grupa a

Grupa

Tato kapitola, striktně vzato, ještě nepatří do lineární algebr y. Pojem grupy je však natolik ústředním pojmem algebry (a celé matematiky), že se mu samozřejmě nemůžeme vyhnout. Naopak, budeme se snažit tento pojem co nejvíce ilustrovat v průběhu celého kursu LA. Zde uvedeme jen několik nejzákladnějších pojmů.

Začněme tedy konečně výklad stylem věta, důkaz,...

Definice grupy. Množinu tex2html_wrap_inline47510 , na níž je definována binární operace tzn. zobrazení

equation5878

nazýváme  grupou, platí-li vztahy

  1. tex2html_wrap_inline47522 resp. tex2html_wrap_inline47524 (asociativita).
  2. tex2html_wrap_inline47526 resp. tex2html_wrap_inline47528 (takzvaný nulový či neutrální prvek), že tex2html_wrap_inline47530 resp. tex2html_wrap_inline47532 .
  3. tex2html_wrap_inline47534 (tzv. opačný či inverzní prv ek, píšeme potom b=-a resp. tex2html_wrap_inline47538 ) takový, že a+b=b+a=0 resp. ab=ba=1.
Značíme-li operaci jako +, mluvíme o   aditivní grupě, píšeme-li ji jako násobení, jde řeč o grupě   multiplikativní, jindy jde o ``komposici'' apod.

Cvičení. Dokažte jedinečnost neutrálního a inversního prvku.

Definice. Grupu nazvěme  komutativní nebo   Abelovou, je-li tex2html_wrap_inline47544 (Znak ``+'' jsme vyhradili jen pro Abelovy grupy.)

Definice. Podmnožina tex2html_wrap_inline47546 , která je uzavřena na binární operaci grupy tex2html_wrap_inline47510 a unární operaci inverse, se nazývá  podgrupou tex2html_wrap_inline47510 . Podgrupa tex2html_wrap_inline47546 je   normální  podgrupou tex2html_wrap_inline47510 , platí-li

equation5901

Třídy tex2html_wrap_inline47566 lze násobit (pro normální podgrupu tex2html_wrap_inline47568 !) podle vzorce tex2html_wrap_inline47570 . Tento vzorec je korektní právě tehdy, jde-li o normální podgrupu, neboť možnost napsat jakýkoliv součin apbp' též ve tvaru abp'' je ekvivalentní možnosti napsat jakýkoliv prvek pb též ve tvaru tex2html_wrap_inline47578 . Vzniklou grupu nazýváme   faktorgrupou grupy tex2html_wrap_inline47510 podle tex2html_wrap_inline47568 a označujeme tex2html_wrap_inline47584 . (Tento pojem, jakož i následující pojem direktního a polodirektního součinu, bude pro začátečníka asi velmi abstraktní a proto těžký; je možno ho při prvním čtení vypustit.)

Jiná definice. Požadavek tex2html_wrap_inline47586 lze přepsat také jako tex2html_wrap_inline47588 , což je důvod, proč normální podgrupě také říkáme invariantní (míněno vůči tzv. vnitřním automorfismům  tex2html_wrap_inline47590 ). tex2html_wrap_inline47568 je tedy normální podgrupou tex2html_wrap_inline47510 právě tehdy, když

equation5926

Tento vztah vyjadřuje tex2html_wrap_inline47602 , a jelikož platí i pro tex2html_wrap_inline47604 : tex2html_wrap_inline47606 , je ekvivalentní tex2html_wrap_inline47608 .

Pojem normální podgrupy by se nedočkal docenění bez zavedení následující konstrukce.

Definice morfismu. Zobrazení tex2html_wrap_inline47610 mezi dvěma grupami nazveme  morfismem nebo  homomorfismem, přenáší-li grupovou operaci, tzn.

equation5942

Vlnka zde označuje binární operaci, unární operaci ``vybrání inversního prvku'' nebo nulární operaci ``vybrání neutrálního prvku'' v  tex2html_wrap_inline47612 . Budiž známo, že morfismus, který je surjekcí,  to jest funkcí ``na'', se nazývá  epimorfismem a  monomorfismem je morfismus v případě, že funkce je injekcí  (tj. když je prostý, různým přiřadí různé). (Mnemotechnická pomůcka SEMI či MISE složená z počátečních písmen těchto zobrazení vám vždy připomene, které je které.) Je-li tex2html_wrap_inline47614 obé, to jest zobrazení je bijekcí,  vzájemně jednoznačným přiřazením, mluvíme o  isomorfismu.

Definice jádra.  Jádrem homomorfismu tex2html_wrap_inline47616 nazveme množinu vzorů neutrálního prvku z  tex2html_wrap_inline47612 . Dokažte, že jádro každého morfismu je normální podgrupou tex2html_wrap_inline47510 a naopak, je-li tex2html_wrap_inline47622 normální podgrupou tex2html_wrap_inline47510 , je tex2html_wrap_inline47622 jádrem morfismu tex2html_wrap_inline47628 .

Definice centra.  Centrem grupy tex2html_wrap_inline47510 nazýváme její podmnožinu tex2html_wrap_inline47632 těch prvků s, pro něž

equation5963

a je to tedy podgrupa ( tex2html_wrap_inline47638 ) a to dokonce normální, protože tex2html_wrap_inline47640 .

Definice prostoty. Grupu nazýváme  poloprostou (polojednoduchou), neobsahuje-li žádné vlastnígif normální Abelovy podgrupy. Grupa je  prostá (jednoduchá), neobsahuje-li žádné vlastní normální podgrupy. (U Lieových spojitých grup, diskutovaných dále, slovo ``žádné'' musíme chápat jako ``žádné kromě diskrétních''.)

Přímý součin grup. Typickým příkladem grupy, která není prostá, je  direktní neboli  přímý (také kartézský) součin grup tex2html_wrap_inline47642 . Jde o kartézský součin těchto grup s jednotkovým prvkem tex2html_wrap_inline47644 , inversním prvkem tex2html_wrap_inline47646 a s operací definovanou vztahem tex2html_wrap_inline47648 . Její počet prvků je tedy roven součinu počtů prvků grup tex2html_wrap_inline47650 a tex2html_wrap_inline47652 (v případě spojitých grup je její dimense rovna součtu dimensí grup tex2html_wrap_inline47650 , tex2html_wrap_inline47652 ).

Taková grupa má za svoji normální podgrupu jak grupu isomorfní tex2html_wrap_inline47650 (s prvky tex2html_wrap_inline47660 ), tak grupu isomorfní tex2html_wrap_inline47652 .

Cvičení. Ilustrujte uvedené pojmy na následujících příkladech grup:

  1. tex2html_wrap_inline47664 , její podgrupy tex2html_wrap_inline47666 a tex2html_wrap_inline47668 , tex2html_wrap_inline47670 , tex2html_wrap_inline47672 , ... Existuje morfismus tex2html_wrap_inline47674 , protože tex2html_wrap_inline47676 a dokonce isomorfismus na grupu tex2html_wrap_inline47678 .
  2. ``ruleta'' tex2html_wrap_inline47680 , 1, 2, ..., tex2html_wrap_inline47686 . Je isomorfní multiplikativní grupě n čísel rovnoměrně rozestavěných po jednotkové kružnici, jedním z nichž je jednotkagif : tex2html_wrap_inline47692 .
  3. ``spojitá ruleta'' tex2html_wrap_inline47694 s násobením komplexních čísel. Lze sestrojit morfismus tex2html_wrap_inline47696 nebo isomorfismus z aditivní grupy tříd reálných čísel lišících se o násobek tex2html_wrap_inline47698 (sčítání modulo tex2html_wrap_inline47698 ).
  4. Permutace na množině & skládání, viz dále.
  5. Přemístění čili shodn osti v elementární geometrii a různé podgrupy na způsob symetrie těles (např.  isometrie dvacetistěnu), symetrie krystalů apod.
  6.  Krystalografické grupy, v dvojrozměrném případě symetrie dláždění. Pohleďme na obrázky ve speciální kapitole (a na text na straně gif) věnované těmto otázkám a charakterisujme grupy tam pojmenované ``prostorová'', ``bodová'' neboli ``krystalografická'' a ``stacionární''.
  7. Pojem grupy je ústředním matematickým pojmem i jinde ve fysice. Ve  standardním modelu elementárních částic, to jest  teorii kvarků, leptonů a zprostředkujících bosonů, je důležitá grupa symetrií tex2html_wrap_inline47702 , různé teorie velkého sjednocení se snaží tuto grupu vyložit jako podgrupu grupy větší, např. tex2html_wrap_inline47704 a heterotické stringy se ji snaží docílit z grupy tex2html_wrap_inline47706 nebo tex2html_wrap_inline47708 .
  8. Historicky se pojem grupy poprvé objevil začátkem 19.století (to jest po roce 1800) při zkoumání (ne)řešitelnosti algebraických rovnic stupně alespoň pátého. Galois svůj objev sepsal přes noc, následující den měl souboj kvůli něžnému pohlaví a nechal se odprásknout.
  9. Radujme se, že v posledním desetiletí byla dokončena (snad) klasifikace velké třídy grup, totiž konečných grup, do níž patří grupy krystalografické, grupy permutací, stejně jako grupa symetrií dvacetistěnu a jiných těles a další, také grupa všech operací, které lze provést   Rubikovou kostkou. Klasifikace konečných grup je dílem srovnatelným (i vahou příslušné knihy) s atlasem světa a je výsledkem enormního úsilí několika generací algebraiků.

 Konečné Abelovy grupy. Neskonale prostší úlohou je klasifikace konečných komutativních grup - dokonce všech konečně generovaných (s konečným generátorem), kterým porozumíte sami, zobecníte-li pojem direktního součinu na libovolné množství činitelů.

tex2html_wrap_inline47710 Věta. Každá konečná Abelova grupa je isomorfní přímému součinu vhodných cyklických grup, které jdou dokonce volit tak, že každá z nich má počet prvků rovný mocnině prvočísla (pozor, řády grup-činitelů se mohou opakovat).

equation6003

Všimněte si, že např. grupa tex2html_wrap_inline47726 není isomorfní přímému součinu tex2html_wrap_inline47728 - například proto, že druhá mocnina každého prvku druhé z grup (nikoliv však první) je jednotkový prvek.

Definice. Řekneme, že množina tex2html_wrap_inline47730  generuje grupu tex2html_wrap_inline47510 , jestliže

equation6026

equation6034

(Některá tex2html_wrap_inline47736 mohou být stejná.) Grupa generovaná jednoprvkovou množinou se nazývá  cyklická (např. tex2html_wrap_inline47738 nebo tex2html_wrap_inline47740 ) a je vždy komutativní, což dokažte.


next up previous contents index
Next: Permutace Up: Kdo je grupa a Previous: Kdo je grupa a

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997