next up previous contents index
Next: Nehmotná tělesa Up: Kdo je grupa a Previous: Tři ekvivalentní definice znaku

Řešil vy byste rovnici pátého stupně?

( tex2html_wrap_inline47304 ) Tuto sekci jsme nenazvali Galoisova teorie, abychom příliš nepodráždili případné na větší formální přesnost si potrpící znalce této teorie, ale přesto doufáme, že hloubavé studenty inspiruje k dumání o řešení rovnic vyšších stupňů.

Mnozí jsou přesvědčeni, že vzorec pro řešení algebraické rovnice libovolného stupně musí existovat. Proto hned na počátek předvedeme jeden důvod, který snad víru těchto osob v existenci vzorce podlomí:

Hledáme-li kořeny rovnice (vydělili jsme koeficienty u nejvyšší mocniny a zavedli střídavá znaménka)

equation6722

chceme vlastně rozložit tento polynom na součin kořenových činitelů 

equation6727

Roznásobíme-li pravou stranu a uvážíme, že se musí rovnat všechny koeficienty u jednotlivých mocnin x, zjistíme, že a je součtem všech kořenů (kladně vzatým díky naší znaménkové konvenci), b je součtem všech součinů dvojic různých kořenů atd.

Všimněme si, že všechny koeficienty jsou invariantnígif vůči libovolné permutaci kořenů, a toto bude zajisté platit pro jakékoli jejich funkce ( tex2html_wrap_inline47940 ). Nezdá se vám těžké z nich získat výraz natolik asymetrický, jakým je tex2html_wrap_inline47416 ?

Jak to vlastně děláme u kvadratické rovnice

equation6732

Umocníme a na druhou, dostaneme tex2html_wrap_inline47946 , odečteme 4b a zbude nám tex2html_wrap_inline47950 , což po odmocnění dává tex2html_wrap_inline47952 . Přičtením a a vydělením dvěma dostáváme kořeny.

Z uvedeného postupu je snad zřejmé, že různé kořeny dává (jeden) vzorec proto, že volíme různé hodnoty odmocnin. (Zde, v případě druhé odmocniny, jde o dvojznačnost znaménka, n-tá odmocnina je n-značná funkce.)

Chcete-li si odvodit vzorce pro řešení rovnice třetího a čtvrtého stupně, doporučujeme vám sestavit si tabulky, kterak vyjádřit různé (vůči permutacím kořenů) invariantní polynomy kořenů, např.

equation6735

Pro kubickou rovnici pak pohledíte na výraz ( tex2html_wrap_inline47960 je ``primitivní hodnota'' tex2html_wrap_inline47962 )

equation6737

a uvědomíte si, že pokud se vám podaří vypočítat tento výraz z koeficientů, budete mít takřka vyhráno. (Přičtete k výrazu zrcadlový tex2html_wrap_inline47964 a součet kořenů tex2html_wrap_inline47966 a dostanete tex2html_wrap_inline47968 ; vidíme, že vzorec pro kořen bude mít tvar součtu dvou třetích odmocnin a a/3.)

Zároveň třetí mocnina daného výrazu vypadá symetričtější vůči permutacím kořenů (a tak by se mohla lépe vyjadřovat pomocí koeficientů), není však úplně:gif

equation6739

Přepsáním tex2html_wrap_inline47972 do tvaru tex2html_wrap_inline47974 dospějeme radostně ke stavu, kdy jediný vůči permutacím neinvariantní člen bude

equation6744

Ten ovšem již lze získat jako druhou odmocninu výrazu vůči všem permutacím invariantního podobně, jako tex2html_wrap_inline47976 u kvadratické. (Pod oněmi sčítanými třetími odmocninami bude součet nějakých polynomů z koeficientů a jakési druhé odmocniny.)

Provedete-li naznačené kroky, dospějete k řešení: ještě je však užitečné substitucí x=y-a/3 rovnici převést do formy s nulovým koeficientem u  tex2html_wrap_inline47980 , což se projeví tím, že lze vyškrtat všechny členy obsahující a. Závěrem bude Cardanův vzorec: rovnice  

equation6748

má kořeny (různá znaménka před druhou odmocninou právě zajišťují ``zrcadlovost'' výrazů)

equation6750

Podobně lze v radikálech  (pomocí odmocnin) vyřešit i rovnici čtvrtého stupně (zkuste si to). Pro odvození je třeba znát triky pro řešení rovnice kubické. Zkusíte začít s výrazem

equation6756

Teprve potom trochu pochopíte, proč nelze řešit rovnice vyšších stupňů, shrnete-li postup řešení:

Z koeficientů jsme vždy sestavili (symetrický vůči tex2html_wrap_inline47856 ) výraz, odmocnili, a dostali tak formuli F, která se násobí některou odmocninou z jednotky odpovídajícího stupně při určité permutaci kořenů. Našli jsme tak charakter  (morfismus do tex2html_wrap_inline47988 ) grupy dosud přípustných permutací. Tím, že k takovému výrazu přičteme výraz symetrický nebo zrcadlový, dostaneme vzoreček, který zcela mění hodnotu při permutacích, vůči kterým není F invariantní. Zajímáme se tedy jen o podgrupu permutací, které F nechávají beze změny (říkejme tomu narušení grupy symetrií tex2html_wrap_inline47856 do tex2html_wrap_inline47510 , např. tex2html_wrap_inline47854 ). Tato grupa tex2html_wrap_inline47510 je normální podgrupou grupy předchozí, jako každé jádro charakteru. Tvorbou nových výrazů a dalším odmocňováním postupně narušujeme grupu symetrií daného výrazu až na tex2html_wrap_inline48002 , grupu obsahující jen identickou permutaci.

Narušení grupy probíhá tex2html_wrap_inline48004 resp. tex2html_wrap_inline48006 resp. tex2html_wrap_inline48008 , kde tex2html_wrap_inline48010 je (lokální) označení pro čtyřprvkovou podgrupu tex2html_wrap_inline48012 isomorfní tex2html_wrap_inline47728 s prvky

equation6775

U vyšších stupňů postup nelze realisovat, poněvadž známá věta (obsažená v učebnicích algebry) říká, že grupa tex2html_wrap_inline47854 je prostá pro n>4. Prostotu tex2html_wrap_inline48020 (vzorce pro rovnice vyšších stupňů by nám umožnily odvodit i vzorec pro rovnici pátého stupně) dokážete tak, že si uvědomíte, že případná normální podgrupa grupy tex2html_wrap_inline48020 by musela (aby nebyla triviální) obsahovat alespoň jednu neidentickou permutaci p, která může mít v případě pěti prvků jednu z následujících struktur cyklů: cyklus délky 4, cyklus délky 2, dvě transposice. Aby však byla normální, musí obsahovat s permutací p všechny prvky tex2html_wrap_inline48028 , tex2html_wrap_inline48030 , a tudíž (jak zjistíte) by musela obsahovat všechny prvky stejné struktury cyklů. Z požadavku uzavřenosti na komposici však vyvodíte, že musí obsahovat všechny permutace z  tex2html_wrap_inline48020 (a jde tedy stejně o triviální podgrupu), protože cyklus délky 2 lze zapsat jako komposici cyklů délky 4 apod. ( tex2html_wrap_inline47306 )


next up previous contents index
Next: Nehmotná tělesa Up: Kdo je grupa a Previous: Tři ekvivalentní definice znaku

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997