next up previous contents index
Next: Cayleyova čísla Up: Kdo je grupa a Previous: Řešil vy byste rovnici

Nehmotná tělesa

Seznámíme se s příklady algebraických struktur proti grupě bohatších o další operaci.

Definice. Množinu tex2html_wrap_inline48036 se dvěma binárními operacemi ``+'' a `` tex2html_wrap_inline48040 '' nazveme  okruhem, platí-li 

1.a+b=b+a

2.(a+b)+c=a+(b+c)

3. tex2html_wrap_inline48046

4. tex2html_wrap_inline48048

5. tex2html_wrap_inline48050 , (b=-a)

6. tex2html_wrap_inline48054

7.a(b+c)=ab+ac

8.(a+b)c=ac+bc

Příklad. Zobrazení na tex2html_wrap_inline47328 mohu skládat (`` tex2html_wrap_inline48062 ''), ale i sčítat (``+''): tex2html_wrap_inline48066 Nejde však ještě o okruh (co není splněno?) Okruh dostaneme, bereme-li lineární zobrazení (viz dále). Podrobnější diskusi těchto a dalších příbuzných pojmů (obor integrity...) viz algebraické učebnice.

Nás bude dále nejvíce zajímat následující speciální případ okruhu:

Definice. Okruh nazveme  tělesem, pokud

equation6784

equation6789

Příklady těles.

  1. tex2html_wrap_inline48072 , kde p je prvočíslo - cyklická grupa s p prvky: Tělesem tex2html_wrap_inline48072 zde míníme těleso čísel tex2html_wrap_inline48080 se sčítáním a násobením modulo p (zbytek po dělení p); je vidět, že v případě, že p není prvočíslo (např. 77), najdeme v  tex2html_wrap_inline48072 nějaké s ním soudělné číslo (např. 14), jehož každý násobek (modulo p) bude dělitelný jejich největším společným dělitelem (zde 7) a tedy nemůže být roven jedničce (ze tex2html_wrap_inline48072 ); nenajdeme tedy inversní prvek. Naopak, je-li p prvočíslo, najdeme pro každé nenulové tex2html_wrap_inline48096 inversní prvek (např. v  tex2html_wrap_inline48098 jsou inversní prvky k 1,2,3,4,5,6 po řadě 1,4,5,2,3,6, třeba tex2html_wrap_inline48100 .)
  2. Kromě tex2html_wrap_inline48072 s prvočíselným p lze sestrojit komutat ivní tělesa, která mají tex2html_wrap_inline48106 prvků (mocnina prvočísla), které si lze představit jako polynomy nejvýše (n-1)-ního stupně s koeficienty ze tex2html_wrap_inline48072 , se sčítáním modulo p v každém stupni x a násobením modulo nějaký vhodný  (ireducibilní, to jest nerozložitelný na součin jednodušších) polynom n-tého stupně. (Operace modulo polynom n-tého stupně se provádí odečítáním součinu tohoto polynomu s nějakými tex2html_wrap_inline48120 , dokud nedostaneme polynom nejvýše (n-1)-ního stupně.)
  3. tex2html_wrap_inline48124 . Víte, jak se násobí a sčítají zlomky?
  4. tex2html_wrap_inline48126 a jeho největší komutativní nadtěleso tex2html_wrap_inline48128 .

    Proč nejsou užitečná třeba u-komplexní čísla x=a+bu, tex2html_wrap_inline48134 ? Inversní číslo k x lze psát jako tex2html_wrap_inline48138 a neexistuje pro tex2html_wrap_inline48140 - z puristického hlediska tedy nesplňuje axiómy pro těleso.

    Zásadnější je, že taková u-komplexní čísla se rozpadají na dvě nezávislá reálná čísla; napíšeme-li dvě u-komplexní čísla ve tvaru

    equation6806

    lze potom zapsat součin xy jako součet dvou složek, z nichž prvá je součinem jen prvých složek činitelů a druhá je součinem druhých:

    equation6812

    Přesně tak se násobí diagonální matice tex2html_wrap_inline48148 resp. tex2html_wrap_inline48150 s čísly a,b resp. c,d na diagonále. (Ověř uvedená fakta.)

  5. Množina čísel typu tex2html_wrap_inline48156 pro tex2html_wrap_inline48158 , tex2html_wrap_inline48160 pro dané těleso tex2html_wrap_inline48162 (zprvu tex2html_wrap_inline48164 ) jsou tělesa, hrající velkou roli v důkazech nemožnosti trisekce úhlu apod.
  6. U kvaternionů se pozdržíme trošku déle.

 Kvaterniony, největší nadtěleso tělesa tex2html_wrap_inline47396 , objev Williama  Rowana Hamiltona (podle něho značíme těleso tex2html_wrap_inline48168 ) z roku 1843. Patří k nejčastěji citovaným příkladům ``záblesku génia'' v matematické literatuře, o čemž se, spolu s popisem výjimečné osobnosti W.R.Hamiltona, můžete dočíst např. v časopise Math. Intelligencer 11/2(1989).

Chceme-li mít těleso s více než jednou imaginární jednotkou (pouhé dvě nestačí, jak se dá nahlédnout), aby

equation6827

předepíšeme-li ještě vztah níže a uvažujeme-li jen tři jednotky i,j,k

equation6829

je už vše další určeno definicí tělesa, vztahy např.

equation6831

Kvaterniony jsou tedy ``čísla'' tvaru

equation6836

sčítající se zřejmým způsobem a násobící se v souladu s distributivním zákonem a s pravidly (všimněte si nekomutativity)

equation6839

Všechna možná nadtělesa tex2html_wrap_inline47398 s maximální dimensí jsou isomorfní s kvaterniony. Při důkazu se využívá vhodná volba kombinací ?-maginárních jednotek, aby byly splněny podmínky tex2html_wrap_inline48176 .

Pokuste se najít tex2html_wrap_inline48178 . ...Nevíte-li, prozkoumejte číslo

equation6843

V čitateli je sdružený kvaternion, ve jmenovateli čtverec jeho normy.


next up previous contents index
Next: Cayleyova čísla Up: Kdo je grupa a Previous: Řešil vy byste rovnici

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997