next up previous contents index
Next: Trisekce úhlu pravítkem a Up: Kdo je grupa a Previous: Nehmotná tělesa

Cayleyova čísla

   ( tex2html_wrap_inline47304 ) Ještě větší ``těleso'' než kvaterniony dostaneme, opustíme-li požadavek asociativity násobení. Každé Cayleyovo číslo neboli oktonion  má svůj oboustranný inversní prvek. Známe-li distributivní zákon a přirozený zákon sčítání, tak jediné, co je třeba najít pro nalezení jejich struktury, je multiplikativní tabulka imaginárních jednotek.

Prozraďme hned na počátku, že algebra Cayleyových čísel (značme ji tex2html_wrap_inline48182 ) má imaginárních jednotek sedm, je tedy osmirozměrným prostorem nad tex2html_wrap_inline47396 . Můžete si promyslet, proč v jiné dimensi nic podobného nefunguje.

Pokud se dozvíte, že obsahuje za své podtěleso kvaterniony (a že čtverec každé imaginární jednotky je -1), jistě vás symetricko-estetické důvody přivedou k víře, že kvaterniony obsahuje vícekrát: říkejme kvaternionická trojice trojici Cayleyových čísel (obvykle imaginárních jednotek), které se chovají jako i,j,k. Označíme-li imaginární Cayleyovy jednotky jako i, j, k, A, B, C, D, napadne nás, že (kromě ijk) také ABC mohou tvořit trojici. Hned se ale dostaneme do nesnází, protože součiny iA a iB musí být oba tex2html_wrap_inline48200 (chceme-li, aby součinem dvou imaginárních jednotek byla plus minus jiná) a součin iD již nelze definovat v souladu s požadavkem, aby každé dvě různé jednotky spolu s jejich součinem tvořily trojici.

Existuje však řešení; čtveřice ABCD lze rozdělit na dvojice třemi způsoby, ke každému způsobu lze přiřadit jednu jednotku z  tex2html_wrap_inline48206 . Tedy budeme mít sedm imaginárních jednotek, jejichž čtverce budou -1, které navzájem antikomutují, a kvaternionické trojice získají tvar (z jistých důvodů je třeba psát iDC,kCB místo iCD,kBC)

equation6851

Všimněte si, že každá dvojice jednotek je v právě jedné trojici, a její součin je tedy dobře definován. Příklad neasociativity je

equation6853

Podobně, jako lze získat tex2html_wrap_inline48168 z množiny tex2html_wrap_inline48216 , lze tex2html_wrap_inline48182 získat z  tex2html_wrap_inline48220 , předepíšeme-li pro násobení

equation6861

Zajímavá je otázka automorfismů uvedené algebry.  Požadujeme-li po automorfismu tex2html_wrap_inline47490 , aby

equation6868

zjistíme, že komplexní čísla mají grupu automorfismů isomorfní tex2html_wrap_inline47922 (kromě identického automorfismu komplexní sdružení), automorfismy kvaternionů tvoří grupu tex2html_wrap_inline48228 (tři imaginární jednotky lze otočit trojrozměrnou ortogonální transformací) a Cayleyova čísla mají zvláštní grupu automorfismů tex2html_wrap_inline48230 . Jde o podgrupu tex2html_wrap_inline48232 - kvaterniony lze také ortogonálně otáčet, ale nikoli zcela volně; dimense grupy tex2html_wrap_inline48230 je jen 14 ve srovnání s dimensí tex2html_wrap_inline48238 grupy tex2html_wrap_inline48232 , viz str. gif.

Jak vypadají takové transformace grupy tex2html_wrap_inline48230 ? Shromáždíme-li k sobě zbytky kvaternionických trojic od jedné imaginární jednotky - například i (to jest jk,AB,DC), můžeme říci, že lze rotovat ``do sebe'' souřadnice j a k, stejně jako A a B nebo D a C, ovšem v grupě tex2html_wrap_inline48230 musí být celkový úhel těchto tří otočení nulový (proto je dimense tex2html_wrap_inline48230 jen dvoutřetinová ve srovnání s  tex2html_wrap_inline48232 ).

Ověříte-li, že algebra je skutečně symetrická vůči uvedeným rotacím, snadno pak i pochopíte, proč má každý prvek jednoznačný oboustranný inversní prvek.

Co se týče invariantů, má grupa tex2html_wrap_inline48230 invariant grupy tex2html_wrap_inline48232 (metrický tensor tex2html_wrap_inline48270 ) a navíc antisymetrický tensor tex2html_wrap_inline48272 (indexy m,n,o nabývají hodnot i, j, k, A, B, C a D), který je nulový vyjma případů, kdy m,n,o tvoří kvaternionickou trojici (pak nabývá znaku permutace). tex2html_wrap_inline48230 lze také charakterisovat jako podgrupu tex2html_wrap_inline48232 , která ponechává na místě nějaký prvek spinorové representace.

Ostatní vyňaté grupy. Grupa tex2html_wrap_inline48230 je jednou z Cartanových vyňatých grup, o nichž ještě uslyšíme. Každá z nich může být charakterisována jako grupa automorfismů nějaké neasociativní algebry (struktury podobné okruhu, viz def. na str. gif).

Důvodem, proč neukážeme tyto algebry s grupami symetrií tex2html_wrap_inline48290 , je jejich složitost. Řekneme jen, že tex2html_wrap_inline48292 je grupa automorfismů algebry tex2html_wrap_inline48294 , to jest všech hermitovských matic tex2html_wrap_inline48296 s Cayleyovými elementy a operací definovanou jako

equation6891

Taková matice obsahuje tři nezávislá reálná čísla na diagonále  a tři další Cayleyova čísla mimo diagonálu, dimense tex2html_wrap_inline48294 je tedy 27, ovšem jednotková matice při automorfismu musí přejít opět na sebe. To je důvod, proč v sekci Cartaniáda prohlásíme, že fundamentální representace tex2html_wrap_inline48292 je 26-rozměrná.


next up previous contents index
Next: Trisekce úhlu pravítkem a Up: Kdo je grupa a Previous: Nehmotná tělesa

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997