next up previous contents index
Next: Racionální kořeny Up: Kdo je grupa a Previous: Cayleyova čísla

Trisekce úhlu pravítkem a kružítkem

  Stovky lidí se snažilo a mnozí dodnes snaží roztřetit úhel. V této sekci ukážeme, proč je nemožné rozdělit obecný úhel na třetiny pomocí pravítka a kružítka.

Ukážemegif nejprve, že všechny body, které lze sestrojit, mají souřadnice, které jdou zapsat jako výraz obsahující sčítání, odčítání, násobení, dělení a druhé odmocniny, a naznačíme, že body, které by musely jít vytvořit, kdybychom uměli roztřetit úhel, mají souřadnice, které nemají takovýto jednoduchý tvar z druhých odmocnin.

Budeme postupně rozšiřovat těleso tex2html_wrap_inline48302 , podtěleso tex2html_wrap_inline47396 , obsahující všechny x-ové a všechny y-ové souřadnice. Začneme s i=0 a tex2html_wrap_inline48308 . Nové body (x,y) lze získat jako průnik přímky s přímkou

equation6908

kružnice s kružnicí

equation6919

nebo přímky s kružnicí,

equation6924

kde přímky spojují již vyznačené body a kružnice mají střed v některém vyznačeném bodě a mají poloměr, aby na nich ležel nějaký již odkrytý bod. To jest tex2html_wrap_inline48312 . Vyřešením první dvojice rovnic dostáváme, že i x a y leží v  tex2html_wrap_inline48302 , tedy nic nového. U druhé dvojice lze dvě rovnice od sebe odečíst, tex2html_wrap_inline48320 se požere a zbude lineární rovnice, která v kombinaci s jednou z kvadratických dá soustavu téhož typu, jakou je třetí, opět s koeficienty z  tex2html_wrap_inline48302 .

Když řešíme třetí, buď budou x a ytex2html_wrap_inline48302 , nebo budou tvaru x resp. tex2html_wrap_inline48332 , kde tex2html_wrap_inline48334 a tex2html_wrap_inline48336 . V druhém případě stačí rozšířit těleso na tex2html_wrap_inline48338 , to jest na

equation6935

To je opravdu těleso, protože tex2html_wrap_inline48346 . (Těleso tex2html_wrap_inline47398 lze pak chápat jako tex2html_wrap_inline48350 .) Protože operací s kružítkem a pravítkem děláme konečný počet, stačí konečněkrát rozšířit těleso. Všechny souřadnice bodů, jež dostaneme, budou tudíž z nějakého rozšířeného tělesa tex2html_wrap_inline48352 .

Kdybychom uměli daný úhel tex2html_wrap_inline48354 roztřetit, pak bychom uměli sestrojit vzdálenost tex2html_wrap_inline48356 při dané jednotkové vzdálenosti a daném tex2html_wrap_inline48358 .

equation6944

equation6950

Sekvenci rovností ať si verifikuje každý sám. Poslední vzorec není nic jiného než kubická rovnice pro tex2html_wrap_inline48356 .

equation6960

Pokud má ale tato rovnice s koeficienty z  tex2html_wrap_inline48302 kořen z  tex2html_wrap_inline48364 , třeba tex2html_wrap_inline48366 , kde tex2html_wrap_inline48334 a tex2html_wrap_inline48336 , pak má také kořen tex2html_wrap_inline48372 (polynom se rozpadne na tex2html_wrap_inline48374 a musí být M=N=0, speciálně pro d=-1 zde tvrdím, že rovnice s reálnými koeficienty obsahuje s komplexním kořenem i komplexně sdružený). Pro kubickou rovnici je ale faktor u kvadratického členu minus součtem kořenů, čili třetí kořen leží v  tex2html_wrap_inline48302 ; je roven tex2html_wrap_inline48382 . Indukcí dostáváme, že pokud má kubická rovnice kořen z  tex2html_wrap_inline48302 , má pak i racionální kořen tex2html_wrap_inline48386 . Není těžké nahlédnout, že určitě pro nějaké racionální (ba pro většinu) tex2html_wrap_inline48358 nebude mítgif racionální kořen, čímž tvrzení dokážeme (detaily v další subsekci).

Týž závěr bychom dostali pro kubaturu krychle  (rovnice tex2html_wrap_inline48392 , nalezení hrany krychle s dvojnásobným objemem) nebo kupříkladu pro konstrukci pravidelného sedmiúhelníka. (Pravidelný pětiúhelník jde sestrojit!)


next up previous contents index
Next: Racionální kořeny Up: Kdo je grupa a Previous: Cayleyova čísla

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997