next up previous contents index
Next: Lineární nezávislost Up: Zimní semestr Previous: Racionální kořeny

Prostory plné vektorů

Touto kapitolou začíná vlastní výklad lineární algebry.

Definice. Nechť tex2html_wrap_inline48162 je komutativní těleso; dále mějme na mysli vždy tex2html_wrap_inline47396 nebo tex2html_wrap_inline47398 , přičemž oba tyto případy budou velmi důležité a v lecčems odlišné.gif Množinu tex2html_wrap_inline48468 nazveme  lineárním nebo  vektorovým prostorem nad tex2html_wrap_inline48162 , jsou-li definovány na tex2html_wrap_inline48468 operace ``sčítání'' a ``násobení konstantou'' z  tex2html_wrap_inline48162 splňující následující axiomy (neutrální prvek prostoru jakožto grupy tex2html_wrap_inline48476 budeme značit tex2html_wrap_inline48478 )

  1. tex2html_wrap_inline48480 je komutativní grupa
  2. tex2html_wrap_inline48482
  3. tex2html_wrap_inline48484
  4. tex2html_wrap_inline48486
  5. tex2html_wrap_inline48488

Prvky takového prostoru nazýváme  vektory a značíme tex2html_wrap_inline47320 apod. Kdybychom podtržené slovo ``těleso'' v definici nahradili slovem ``okruh'', výsledný objekt bychom nazývali  modulem.

Pojem lineární kombinace. Jakýkoliv vektor tvaru součtu násobků konečného počtu vektorů

equation7046

nazveme  lineární kombinací vektorů tex2html_wrap_inline48492 .

Definice. Pro libovolnou množinu M vektorů nazveme jejím    lineárním obalem lineární prostor všech lineárních kombinací vektorů z M a značíme ho

equation7057

Definice.  Base prostoru tex2html_wrap_inline48468 je každá minimálnígif množina vektorů (dále místo adjektiva ``minimální'' budeme mluvit o lineárně nezávislých vektorech), jejímž lineárním obalem je celé tex2html_wrap_inline48468 , a  dimense je počet těchto vektorů. O jednoznačnosti pojmu dimense přesvědčíme nedůvěřivé v sekci o Steinitzově větě. Obvykle budeme mluvit o prostorech konečné dimense, ale mnohé závěry mohou být elegantně převedeny i do situace nekonečné dimense.

Definice. Řekneme, že tex2html_wrap_inline48504  generuje tex2html_wrap_inline48468 , pokud

equation7069

Příklady lineárních prostorů.

  1. Vektory v rovině a v prostoru z elementární geometrie.
  2. tex2html_wrap_inline48512
  3. tex2html_wrap_inline48514
  4. Prostor tex2html_wrap_inline48516 všech funkcí (reálných či komplexních) na nějaké množině X. Je-li X interval, jde o velikánský prostor, pro interval tex2html_wrap_inline48522 hleď na další příklady.
  5. tex2html_wrap_inline48524 spojité funkce na tex2html_wrap_inline48526
  6. tex2html_wrap_inline48528 polynomy, tex2html_wrap_inline48530 polynomy nejvýše n-tého stupně.
  7. tex2html_wrap_inline48534 trigonometrické polynomy, kombinace funkcí tex2html_wrap_inline48536 a tex2html_wrap_inline48538 pro tex2html_wrap_inline48540 .
  8. Prostor funkcí po částech konstantních na tex2html_wrap_inline48542 , vyjma dělících bodů tex2html_wrap_inline48544
  9. Prostor spojitých funkcí po částech lineárních.
  10. Množina řešení soustavy lineárních rovnic s nulovou pravou stranou.
  11. Prostor všech (resp. jen omezených resp. konvergentních) posloupností.
  12. Patologický příklad: tex2html_wrap_inline47396 coby lineární prostor nad tělesem racionálních čísel (podobná ``zvrhlost'' se užívá při důkazu existence neměřitelných množin v teorii míry).
  13.  Magické neboli  latinské čtverce, čtvercové tabulky čísel, v nichž se navzájem rovnají všechny řádkové a sloupcové součty, případně dle libosti i součty po diagonálách.
  14. Miliony dalších příkladů.

Úkol. Hledejte base uvedených prostorů (ne každý prostor má basi přirozeně zadanou jako 2),3) nebo i 6), např. 9),10)), sestrojte tímto isomorfismy do vhodného tex2html_wrap_inline47328 (je-li to možné) a určete dimense.




next up previous contents index
Next: Lineární nezávislost Up: Zimní semestr Previous: Racionální kořeny

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997