next up previous contents index
Next: Alternativní zavedení pojmu dimense Up: Prostory plné vektorů Previous: Isomorfismuspodprostory, reálná a

Steinitzova věta

  Mějme ve vektorovém prostoru tex2html_wrap_inline48468

  1. nějaké lineárně nezávislé vektory tex2html_wrap_inline48798
  2. a další vektory tex2html_wrap_inline48800 takové, že tex2html_wrap_inline48802 to jest každý vektor tex2html_wrap_inline48566 je lineární kombinací vektorů tex2html_wrap_inline48800 .
POTOM PLATÍ tex2html_wrap_inline48808 .

Důsledek. Nazvali jsme  basí jakoukoliv množinu nezávislých vektorů tex2html_wrap_inline48492 že tex2html_wrap_inline48812 . Libovolné dvě base mají potom stejný počet prvků neboli  dimensi, která je tím pádem dobře definována.

Důkaz důsledku ze Steinitzovy věty. Mějme dvě base
tex2html_wrap_inline48798 a tex2html_wrap_inline48800 . Užijme dvakrát Steinitzovu větu dle schematu:

equation8345

Výroky vlevo nahoře a vpravo dole resp. vpravo nahoře a vlevo dole znamenají, že tex2html_wrap_inline48566 resp. tex2html_wrap_inline48824 tvoří basi.

Lemma o výměně, základ důkazu Steinitzovy věty. Nechť

equation8374

Je-li tex2html_wrap_inline48826 , tak

equation8387

Pro důkaz stačí dosadit tex2html_wrap_inline48828 .

Zeslabení věty. Výrokem tex2html_wrap_inline48830 ( tex2html_wrap_inline48832 ) mysleme modifikaci Steinitzovy věty vzniklou dodatečným předpokladem, že množiny tex2html_wrap_inline48834 a tex2html_wrap_inline48836 mají alespoň k společných prvků. Pak tex2html_wrap_inline48840 značí původní Steinitzovu větu a tex2html_wrap_inline48842 je triviální tvrzení.

tabular8420

tex2html_wrap_inline47710 Návod. Nechť mezi oněmi společnými k-1 prvky z věty tex2html_wrap_inline48852 , kterou chceme dokázat, není vektor tex2html_wrap_inline48854 a také jisté tex2html_wrap_inline48856 , přičemž ve vyjádření tex2html_wrap_inline48858 je tex2html_wrap_inline48860 . Mezi těmi tex2html_wrap_inline48862 , pro něž tex2html_wrap_inline48864 , je nutně nějaké tex2html_wrap_inline48856 , které není mezi k-1 společnými vektory, jinak bychom mohli napsat tex2html_wrap_inline48854 jako lineární kombinaci ostatních společných vektorů a vektory tex2html_wrap_inline48566 by nebyly nezávislé. Podle lemmatu je tex2html_wrap_inline48874 , čímž se ale dostáváme do situace věty tex2html_wrap_inline48830 .

Poznámka. Věta říká, že rozkaz Zaměň vhodných m vektorů množiny tex2html_wrap_inline48836 prvky množiny tex2html_wrap_inline48834 tak, aby se lineární obal tex2html_wrap_inline48884 nezměnil ! tedy lze realisovat, čehož zřejmým důsledkem je vysněná nerovnost tex2html_wrap_inline48808 .



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997