next up previous contents index
Next: Skalární součin Up: Prostory plné vektorů Previous: Některé geometrické pojmy

Funkce typu spline

   Matematický obor, jehož základními objekty zkoumání jsou nejrůznější lineární prostory funkcí, se nazývá funkcionální analýza. Prostory funkcí tam zkoumaných jsou ovšem většinou nekonečné dimense - což přináší technické komplikace a někdy i zcela nové rysy proti situacím, se kterými se setkáváme v LA . Existuje však i několik význačných typů prostorů funkcí konečné dimense, používaných velmi často v tzv. teorii aproximací (kde jde o nahrazení původní ``složité'' funkce jednodušší aproximující funkcí z nějaké třídy polynomů, trigonometrických polynomů, ...viz dále). gif

Níže uvedené prostory jsou velmi často používány - třeba v teorii aproximací funkcí. Zatím můžeme seznámení s nimi chápat jako příležitost pocvičit se v hledání zajímavých příkladů bází v různých lineárních prostorech.

Nejde však zdaleka jenom o tento (samo)účel. Níže zkonstruované base podstatným způsobem použijeme později (viz odstavec ``Vlnky'' v druhé části knihy v kapitole Kvadratický svět, věnovaný úvodu do problematiky oboru zvaného ``Image processing'').

Kromě již zmíněných prostorů polynomů a trigonometrických polynomů jde v aplikacích velmi často o prostory funkcí majících ``po částech vlastnost ...'' kde za ... lze dosadit vlastnosti jako konstantní, lineární, kvadratický, kubický, ...Tedy takzvané ``spline functions'' - česky snad ``splajny'' (?).

Popišme nyní podrobněji tyto příklady. Vezměme pro určitost interval [0,1] rozdělený na (typicky ``malé'') intervaly tex2html_wrap_inline48946 pomocí jistého (fixovaného v dalším výkladu) dělení intervalu

equation8529

Dohodněme se pro konkrétnost, že všechny dále uvažované funkce budou mít předepsánu hodnotu 0 vně intervalu (0,1) . Naopak, bude li to účelné, považujme interval [0,1) za grupu se sčítáním modulo 1 (v takovém případě někdy už bez bezpodmínečného požadavku nulovosti uvažovaných funkcí v bodě 0=1).

  1. Prostor tex2html_wrap_inline48958 všech funkcí po částech konstantních na každém intervalu tex2html_wrap_inline48960 a zprava spojitých v každém bodě tex2html_wrap_inline48962 .
  2. Podprostor tex2html_wrap_inline48964 .

    Cvičení. Najděte vhodné base prostorů tex2html_wrap_inline48958 a tex2html_wrap_inline48968 !

    Návod. V případě 1) volte funkce (typu ``Stolová hora'')

    equation8533

    kde tex2html_wrap_inline48970 označuje tzv. charakteristickou funkci intervalu I (někdy se též mluví o tzv. ``indikátoru'' I).

    V případě 2) zkuste funkce typu

    equation8537

  3. Prostor tex2html_wrap_inline48976 všech spojitých funkcí ``po částech lineárních'', přesněji lineárních na každém intervalu tex2html_wrap_inline48978 a nulových vně intervalu [0,1].
  4. Podprostor

    equation8545

    Cvičení. Najděte vhodné base prostorů tex2html_wrap_inline48976 a tex2html_wrap_inline48984 !

    Návod. V případě 3) volte funkce (typu ``Milešovka'')

    equation8547

    tedy primitivní funkce k tex2html_wrap_inline48986 .

    V případě 4) zkuste funkce

    equation8549

    Všimněte si, že zobrazení

    equation8560

    je isomorfismem prostorů tex2html_wrap_inline48976 a tex2html_wrap_inline48968 .

  5. Prostor tex2html_wrap_inline48992 všech všude derivovatelných funkcí, kvadratických v každém intervalu tex2html_wrap_inline48978 a nulových vně intervalu [0,1].

    Cvičení. Najděte vhodnou basi prostoru tex2html_wrap_inline48992 .

    Návod. Zkuste funkce (typu ``Říp'') 

    equation8562

    tedy primitivní funkce k tex2html_wrap_inline49000 . Že jde vskutku o basi, je nejlépe vidět s použitím isomorfismu

    equation8564

Poznámka. V konstrukci prostorů uvedeného typu (polynomy zvoleného stupně uvnitř intervalů tex2html_wrap_inline48960 s co ``nejhladším napojením'' na sebe) lze samozřejmě pokračovat i dále. Vezměte třeba podprostor tex2html_wrap_inline49004 a prostor primitivních funkcí k němu. Dostaneme tzv. kubické ``splajny'' (spline functions). Najdete vhodnou basi tohoto prostoru ? (S přibývajícím stupněm polynomu to zřejmě bude formálně čím dále komplikovanější.) Najděte aspoň dimensi tohoto prostoru!

Následující obrázky znázorňují typické příklady funkcí z prostorů tex2html_wrap_inline49006 :

picture8566

A níže uvedené posloupnosti funkcí naznačují příklady vhodných voleb basí v prostorech tex2html_wrap_inline49008 a tex2html_wrap_inline48992 ; některé z těchto basí jsou ``víceméně'' ortogonální (viz následující kapitolu a podrobnější komentář pak v odstavci Vlnky v druhé části knihy).

picture8662

Cvičení. Jaký je vztah mezi nakreslenými funkcemi z tex2html_wrap_inline48984 a příslušnými vhodně volenými Haarovými funkcemi?


next up previous contents index
Next: Skalární součin Up: Prostory plné vektorů Previous: Některé geometrické pojmy

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997