next up previous contents index
Next: Gramm-Schmidtova ortogonalisace Up: Zimní semestr Previous: Funkce typu spline

Skalární součin

Pojem   skalárního součinu je zobecněním pojmu již asi známého (ze střední školy) pro vektory v  tex2html_wrap_inline49020 nebo v  tex2html_wrap_inline49022 .gif Jeho axiomatické zavedení je následující:

Definice. Zobrazenígif

equation10095

splňující vztahy

  1. tex2html_wrap_inline49034
  2. tex2html_wrap_inline49036
  3. tex2html_wrap_inline49038
  4. tex2html_wrap_inline49040
  5. tex2html_wrap_inline49042
  6. tex2html_wrap_inline49044
nazveme skalárním součinem na vektorovém prostoru tex2html_wrap_inline48468 .

Cvičení. Minimalisujte soubor těchto axiomů.

Poznámka. Nyní nemluvíme o skalárním součinu čtyřvektorů v teorii relativity, jelikož nesplňuje poslední (šestou) podmínku, ani o komplexním skalárním součinu ``bez hvězdičky'', protože nevyhovuje páté poznámce, tex2html_wrap_inline49048 není obecně reálný a mluviti o šesté podmínce nemá vůbec cenu.

Definice. Vektory tex2html_wrap_inline49050 nazveme vzájemně  kolmé nebo  ortogonální, platí-li (na pravé straně rovnosti níže zavádíme označení tzv. normy vektoru)

equation10176

kde tex2html_wrap_inline49052 je tzv.   Kroneckerův symbol: tex2html_wrap_inline49054

Skutečnost, že dva vektory tex2html_wrap_inline49056 jsou kolmé, značíme také tex2html_wrap_inline49058 .

Úloha. Soubor nenulových vzájemně ortogonálních vektorů je vždy lineárně nezávislý.

Předběžné upozornění. Často, jako v případě tex2html_wrap_inline47328 , tex2html_wrap_inline49062 případně jejich podprostorů je skalární součin zadán jaksi ``od přírody''. Uvidíme, že na každém lineárním prostoru lze skalární součin zavést, a to mnoha způsoby. Časem uvidíme, pro jaké problémy potřebujeme v daném lineárním prostoru ``najít'' či zkonstruovat vhodný skalární součin. Je třeba také zdůraznit opačnou stránku věci: v mnoha problémech pojem skalárního součinu překáží správnému pochopení situace. Uvedení pojmu skalárního součinu a základních tvrzení s ním spjatých takto brzy ve výkladu lineární algebry lze odůvodnit tím, že pojmy jako ``kolmost'' jsou v běžné představivosti přímo svázány s pojmy přímka, rovina a se zkoumáním jejich vzájemné polohy a pro začátečníka je spíše těžké pojem vektoru zcela oprostit od takovýchto zdánlivě nezbytných atributů - a v dalším pochopit, proč vůbec zavádíme třeba pojem duálního prostoru a proč mají tensory dva druhy indexů...

(Posuďme, jak je těžké pro začátečníka si jako isomorfismus prostorů tex2html_wrap_inline49064 bez skalárního součinu představit vedle otočení také kosení nebo natažení podél jedné nebo obou souřadnic.)

Příklady.

  1. tex2html_wrap_inline49066 pro tex2html_wrap_inline49068 resp. tex2html_wrap_inline47328 (pak lze vynechat sdružení)
  2. Pojem skalárního součinu je důležitý i v analýze. Na prostorech funkcí bývá skalární součin zadán pomocí určitého integrálu. (Všimněte si, že tento přechod je zcela přirozený: v minulém příkladě jsme sčítali součiny hodnotgif x a tex2html_wrap_inline49084 v bodě i, v případě funkčním nabývá i - nyní značené jako x - hodnot ze spojitého oboru, a tak je přirozené nahradit sumaci integrací.)

    equation10211

    Konkrétně, pro polynomy se užívá  

    equation10218

    nebo

    equation10224

    (tento skalární součin je důležitý v kvantové mechanice při zkoumání harmonického oscilátoru) a mnohé další (slyš lineární algebru i analýzu).

Korelace. Číslo tex2html_wrap_inline49092 je v některých situacích nazýváno  korelací mezi tex2html_wrap_inline49094 a tex2html_wrap_inline49096 . Mějme zadány nějaké funkce x,y na konečné množině M, jejíž prvky označme jako tex2html_wrap_inline49076 , to jest mějme vektory tex2html_wrap_inline49104 a tex2html_wrap_inline49106 . Podle znaménka tex2html_wrap_inline49108 se říká, že veličiny x a y jsou kladně nebo záporně korelovány. Za míru korelovanostigif obvykle považujeme veličinu ``koeficient korelace''

equation10239

a veličiny x,y, pro které je tex2html_wrap_inline49136 (alespoň přibližně), nazýváme nekorelované nebo nezávislé (toto slovo nechápejme v algebraickém smyslu). (Koeficient leží v intervalu tex2html_wrap_inline49138 .) Domníváme se např., že má smysl psát vztah typu

equation10259

kde tex2html_wrap_inline49140 je ``nekorelovaný zbytek'' takový, že tex2html_wrap_inline49142 a tex2html_wrap_inline49144 . To je tzv.    lineární regrese a množina M zde má význam seznamu pořadových čísel měření. Ani lineární regresi netřeba přehánět, jak jsme často svědky při zpracování nejrůznějších dat v různých oblastech: z faktu, že je tex2html_wrap_inline49148 , což je téměř vždy, ještě neplyne, že vše souvisí lineárně se vším a že vypočtená veličina tex2html_wrap_inline47898 dává nějakou užitečnou informaci. K závěrům nejrůznějších výzkumů typu ``preparát P působí (ne)příznivě na to či ono'' je dobré býti a priori spíše kritičtější, nejsou-li autoři odborníky v matematické statistice.

  Diracovské brackety. Nenápadně si dovolujeme upozornit na  názorný způsob zápisu rovnic s vektory, skalárním součinem atd., hojně používaný v kvantové teorii. Vektor tex2html_wrap_inline49152 lze psát jako tex2html_wrap_inline49154 , skalární součin

equation10274

(Všimněte si obráceného pořadí, v bracketech komplexně sdružujeme levý vektor.) Vektory tex2html_wrap_inline49156 jsou prvky  duálního vektorového prostoru, o němž uslyšíme později, a existence skalárního součinu se ukazuje být v jistém smyslu ekvivalentní možnosti rozumného vzájemného přiřazení vektorů prostoru a jeho duálu (zajišťující smysluplnost tex2html_wrap_inline49158 , máme-li tex2html_wrap_inline49160 .) Vektorům zapsaným tex2html_wrap_inline49156 resp. tex2html_wrap_inline49164 říkáme bra-vektory resp. ket-vektory podle prvních resp. posledních tří písmen anglického výrazu pro závorku tex2html_wrap_inline49166 bracket tex2html_wrap_inline49168 .

Definice. Funkci

equation10279

nazveme  normou vektoru tex2html_wrap_inline49094 , indukovanou skalárním součinem b. Normou tedy myslíme ``délku'' vektoru a nikoliv její kvadrát, jak jest mnohdy dobrým zvykem.

Jak lze zrekonstruovat tex2html_wrap_inline49178 , známe-li tex2html_wrap_inline49180 ? Na to odpovídá následující tvrzení, zobecňující známou kosinovou větu.

Věta. tex2html_wrap_inline49182

Důkaz. Okamžitě z bilinearity skalárního součinu. Nejjednodušší kontrolu koeficientů a znamének docílíte pro jednorozměrný prostor, kdy tex2html_wrap_inline49094 a tex2html_wrap_inline49096 jsou čísla a rovnost

equation10311

platí. Stejně otestujte

equation10313

V obecném komplexním případě je třeba užít složitější vztah, který dokážete zase tak, že čtverce norem napíšete jako skalární součiny a ``roznásobíte'' je (koeficienty u druhé proměnné je třeba při vytýkání sdružit).

Věta.

equation10328

Cvičení. Zatím ještě nevíme, že v  tex2html_wrap_inline49022 je tex2html_wrap_inline49190 , kde tex2html_wrap_inline47490 je úhel mezi tex2html_wrap_inline49194 a tex2html_wrap_inline49196 . Dokažte to!

Minkowského věta. (trojúhelníková nerovnost pro normu)

equation10365

Důkaz.

equation10378

equation10408

Poslední krok je oprávněn díky

Cauchyho nerovnosti.

equation10422

Důkaz Cauchyovy nerovnosti. Funkce

equation10446

je nezáporná tex2html_wrap_inline49198 , tudíž diskriminant

equation10477

Dokázali jsme tedy, že reálná část skalárního součinu dvou vektorů je menší nebo rovna součinu norem; stejně tak je ale menší nebo rovna absolutní hodnota skalárního součinu

equation10491

o čemž se lehce přesvědčíme tím, že vektor (třeba) tex2html_wrap_inline49096 násobíme takovou komplexní jednotkou, aby byl skalární součin reálný, čímž se ovšem nezmění normy vektorů ani absolutní hodnota skalárního součinu, a přitom nerovnost už budeme mít dokázanou.

Geometrické odbočení, definice. Isomorfismus mezi dvěma vektorovými prostory tex2html_wrap_inline49202 zachovávající navíc i skalární součin

equation10507

nazveme  isomorfismem prostorů se skalárním součinem tex2html_wrap_inline49206 a tex2html_wrap_inline49208 .

Definice. Prostor tex2html_wrap_inline47328 s obvyklým skalárním součinem

equation10523

budeme nazývat  euklidovským prostorem; označení tex2html_wrap_inline49212 .

Příklad. Máme charakterisovat všechny isomorfismy tex2html_wrap_inline48922 do sebe (v pozdější terminologii všechna ortogonální zobrazení). (Morfismy algebraické struktury tex2html_wrap_inline49216 do sebe se nazývají  endomorfismy a ty, které jsou navíc isomorfismy, se označují za  automorfismy, tvoří grupu často značenou Aut( tex2html_wrap_inline49216 ).)

Věta. Takový isomorfismus tex2html_wrap_inline49220 je

  1. buď otočením o vhodný úhel tex2html_wrap_inline47972 (pro tex2html_wrap_inline49224 identita)
  2. nebo komposicí otočení se zrcadlením tex2html_wrap_inline49226 , např.

    equation10535

    v tom či onom pořadí.

Poznámka. Morfismy z prvé skupiny tvoří normální podgrupu všech isomorfismů. Promyslete, proč je faktorgrupou grupa

equation10537

isomorfní grupě tex2html_wrap_inline47864 s násobením nebo grupě tex2html_wrap_inline49230 .

Důkaz. Pišme tex2html_wrap_inline49232 a tex2html_wrap_inline49234 . Podle definice isomorfismu platí vztahy (dosaďte vektory base)

equation10541

equation10549

Vyjádřeme tedy tex2html_wrap_inline49236 , tex2html_wrap_inline49238 , tex2html_wrap_inline49240 , tex2html_wrap_inline49242 .

Pak tex2html_wrap_inline49244 .

Buď se tedy tex2html_wrap_inline47898 a tex2html_wrap_inline49248 liší o násobek tex2html_wrap_inline47698 , tedy

equation10561

jde o rotaci o úhel tex2html_wrap_inline47898 , nebo se liší o lichý násobek tex2html_wrap_inline49270 , pak

equation10573

vidíme komposici otočení a zrcadlení. (Násobení matic budete zvládat nejpozději brzy.)




next up previous contents index
Next: Gramm-Schmidtova ortogonalisace Up: Zimní semestr Previous: Funkce typu spline

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997