next up previous contents index
Next: Ortogonální doplněk Up: Skalární součin Previous: Skalární součin

Gramm-Schmidtova ortogonalisace

 Seznámíme se nyní s jednou velmi přirozenou konstrukcí, mající názorný geometrický význam. (Budeme časem možná až překvapeni, ke kolika netriviálním aplikacím plným ``složitých formulí'' tato metoda povede; bude např. jednotícím prvkem rozsáhlé kapitoly klasické analýzy zvané Teorie ortogonálních polynomů.) 

Máme-li dva vektory tex2html_wrap_inline49304 , můžeme vyjádřit

equation10599

Další text rozšiřuje tuto operaci na případ více vektorů.

Věta. Nechť tex2html_wrap_inline49306 . Pak tex2html_wrap_inline49308 takové, že

  1. tex2html_wrap_inline49310 když tex2html_wrap_inline47818 . Píšeme též tex2html_wrap_inline49314 .
  2. tex2html_wrap_inline49316 platí tex2html_wrap_inline49318 .

Důkaz. Kreslete si obrázek pro k=2,3, projděte Grammovým a Schmidtovým ortogonalisačním procesem vlastní nohou. Druhá podmínka bude splněna, volíme-li tex2html_wrap_inline48862 ve tvarugif

equation10643

Je zřejmě tex2html_wrap_inline49326 podle indukčního předpokladu a díky volbě tex2html_wrap_inline49328 také tex2html_wrap_inline49330 . Podmínka prvá vyžaduje, aby tex2html_wrap_inline49332 bylo

equation10684

což jednoznačně určuje tex2html_wrap_inline49334 .

Příklad.

  Nejde o nic jiného, než že vezmeme první vektor ze souboru,
ke druhému přičteme takový násobek prvního,  aby byl kolmý na
první, ke třetímu přičteme takové kombinace těch předcházejí-
cích vektorů (těch,  které jsou již kolmé navzájem),  aby byl
kolmý opět  na všechny předchozí atd.,  až dostaneme vektory,
které generují týž prostor, jako ty původní, ale vzájemně již
jsou kolmé.



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997