next up previous contents index
Next: Matice a lineární zobrazení Up: Skalární součin Previous: Gramm-Schmidtova ortogonalisace

Ortogonální doplněk

Definice doplňku. Množinu tex2html_wrap_inline49348 nazveme  ortogonálním doplňkem množiny tex2html_wrap_inline49350 , značíme tex2html_wrap_inline49352 a znak čteme komín nebo kolmítko.

Tvrzení. tex2html_wrap_inline49354 .

Lemma, jež se bude hodit. Nechť tex2html_wrap_inline48672 . Pak každou ortogonální basi tex2html_wrap_inline48738 prostoru tex2html_wrap_inline48668 lze prodloužit na ortogonální basi celého tex2html_wrap_inline48468 ; prodloužíme basi libovolným způsobem na basi celého tex2html_wrap_inline48468 a ortogonalisujeme à la Gramm-Schmidt.

Jeho důsledek. tex2html_wrap_inline49366 .

Důkaz tvrzení.

Definice. Nechť tex2html_wrap_inline48672 . Dle předchozího tvrzení lze každý vektor tex2html_wrap_inline49384 napsat ve tvaru tex2html_wrap_inline49386 , kde tex2html_wrap_inline49388 . Zobrazení tex2html_wrap_inline49390 nazýváme   ortogonální projekcí na podprostor tex2html_wrap_inline48668 .

Nechť tex2html_wrap_inline48718 , tex2html_wrap_inline48720 , tex2html_wrap_inline49398 , tex2html_wrap_inline49400 jsou na sebe vzájemně kolmé podprostory takové, že

equation10782

( tex2html_wrap_inline49406 znamená tex2html_wrap_inline49408 ). Pak existuje jednoznačný rozklad vektoru tex2html_wrap_inline49384 tex2html_wrap_inline49412 , kde tex2html_wrap_inline49414 . Pochopte a vysvětlete jednomu člověku, který to nechápe. Zobrazení tex2html_wrap_inline49416 označujeme dále tex2html_wrap_inline49418 a nazýváme ortogonální projekcí na tex2html_wrap_inline49420 . Platí tedy: identické zobrazení tex2html_wrap_inline49422 gif.

  1. První a druhá Pythagorova věta: Velikost čtverce pod odvěsnou resp. přeponou se rovná velikosti čtverce nad odvěsnou resp. přeponou.
  2. Třetí Pythagorova věta: tex2html_wrap_inline49428
  3. Obecnější čtvrtá Pythagorova věta: tex2html_wrap_inline49430
  4. Pátou ``Pythagorovu větu'' uvidíme ve formě Parsevalovy rovnosti na straně gif.
  5. Parafráze Pythagorovy věty ve tvaru, kdy odvěsny a přepony již nejsou úsečkami, nýbrž vícerozměrnými simplexy, pochází od Grassmanna a my o ní mluvíme na str. gif. Pythagoras ji asi ještě neznal.

Důkazy si proveďte sami kromě šesté věty.

 Projekcí bez přívlastku ortogonální a bez předpokladu zavedení skalárního součinu nazveme lineární zobrazení tex2html_wrap_inline49432 , platí-li tex2html_wrap_inline49434 . Projekce tex2html_wrap_inline49436 nazveme  doplňkové, platí-li tex2html_wrap_inline49438 a tex2html_wrap_inline49440 , kde tex2html_wrap_inline49442 označuje identické zobrazení. Operátoru splňujícímu tex2html_wrap_inline49434 se také říká  idempotentní (z latinského ``stejný jako mocniny'') a co se týče vlastních čísel x (viz dále), splňují tex2html_wrap_inline49448 , tedy x=0 resp. x=1.


next up previous contents index
Next: Matice a lineární zobrazení Up: Skalární součin Previous: Gramm-Schmidtova ortogonalisace

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997