next up previous contents index
Next: Matice Up: Zimní semestr Previous: Ortogonální doplněk

Matice a lineární zobrazení

Motto. Matice Indukují Lineární Obrazení Študákům, Znalým A Holdujícím Raději Algebraickým Dohadům Než Idiotským Klepům.

Linearita Umožňuje Bezpečné Odstranění Šotků, Mařících Odvěké Touhy Lidstva.

Definice.   Lineárním zobrazením (homomorfismem) tex2html_wrap_inline49454 rozumíme každé zobrazení splňující vztahy

equation10840

equation10855

Příklady.

  1. Zobrazení typu tex2html_wrap_inline49458 , kdegif

    equation10869

    Tabulku tex2html_wrap_inline49476 nazýváme  maticí tohoto lineárního zobrazení.

  2. Otočení, zrcadlení, stejnolehlost, kosení (ale nikoli posun vektoru, nulovému vektoru musí být přiřazen opět nulový) atd. jako příklady z elementární geometrie.

    Chceme-li mluvit o zobrazeních v tzv.  afinních prostorech (včetně posunu), je užitečné psát souřadnice vektoru v n-rozměrném prostoru nikoli pouze tex2html_wrap_inline49480 , ale tex2html_wrap_inline49482 a identifikovat tento vektor s jeho násobky. Tímto se nám také přirozeně odkryjí nevlastní body (v nekonečnu) jako vektory s nulovou poslední (přidanou) souřadnicí. Transformace souřadnic zahrnující posunutí bude mít tvar

    equation10890

    kde matice tex2html_wrap_inline49484 obhospodařuje obvyklou část lineárního zobrazení a sloupcový vektor tex2html_wrap_inline49152 posun. Další poznámky o   projektivním prostoru v kapitole o kvadratických plochách.

  3. Ortogonální projekce na podprostor.
  4. Řada příkladů z analýzy na nekonečněrozměrných prostorech funkcí a jejich vhodných (i konečnědimensionálních) podprostorech, kupř.

    equation10907

    equation10912

    equation10915

    equation10918

    Lineární zobrazení tex2html_wrap_inline49492 , zvláště na prostorech funkcí, nazýváme  operátory. (Např. operátor derivování, operátor souřadnice, tj. násobení funkcí g(x)=x apod.)

  5. Mnohá nelineární zobrazení bývá užitečné linearisovat.




Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997