next up previous contents index
Next: Hodnost součinuregulární matice Up: Zimní semestr Previous: Vandermondova matice

Hodnost

Začneme větou, která by se stejně tak mohla hodit do partie o dimensi a která zobecňuje rovnost tex2html_wrap_inline49706 pro tex2html_wrap_inline48672 .

Věta. Pro dané zobrazení tex2html_wrap_inline49454 zaveďme symboly gif

equation11348

equation11362

a mluvme o   jádru neboli nulovém prostoru a  obrazu daného lineárního zobrazení. Pak je tex2html_wrap_inline49730 .

Důkaz. Nechť tex2html_wrap_inline49502 je base tex2html_wrap_inline49734 a nechť tex2html_wrap_inline49736 je base tex2html_wrap_inline49738 . Najděme pro každé tex2html_wrap_inline49740 nějaké tex2html_wrap_inline48566 takové, že tex2html_wrap_inline49744 . Potom je tex2html_wrap_inline49746 base prostoru tex2html_wrap_inline48468 , poněvadž je-li tex2html_wrap_inline49384 a píšeme-li (jednoznačně)

equation11423

existují jednoznačně určené koeficienty tex2html_wrap_inline49752 takové, že

equation11439

Označení. Pro matici tex2html_wrap_inline47308 zřídíme symboly

equation11450

pro její j-tý řádek a i-tý sloupec (zkratka slovenského riadok a stŤpec). Prostory

equation11466

equation11475

nazýváme   řádkovým resp.   sloupcovým prostorem matice tex2html_wrap_inline47308 .

Definice. Mějme lineární zobrazení tex2html_wrap_inline49454 s maticí tex2html_wrap_inline47308 vůči basím tex2html_wrap_inline48492 a tex2html_wrap_inline48800 . Označme symboly

equation11500

equation11505

Věta. tex2html_wrap_inline49784 . Společnou hodnotu budeme nazývat  hodností matice tex2html_wrap_inline47308 resp. zobrazení f. Vzhledem k důležitosti tohoto tvrzení uvedeme dva důkazy vztahu tex2html_wrap_inline49790 (a souvislosti s h si necháme na konec).

Lemma, základ prvého způsobu. Nechť matice tex2html_wrap_inline49794 vznikne z matice tex2html_wrap_inline47308 vynecháním sloupce, který je lineární kombinací ostatních. Potom samozřejmě tex2html_wrap_inline49798 (proč?), ale také

equation11518

(Platí zajisté i lemma, kde zaměníme slovo ``řádka'', písmeno ``r'' atd. slovem ``sloupec'', písmenem ``s'' apod.)

Nejprve ukážeme, jak z daného lemmatu plyne vysněné tex2html_wrap_inline49790 . Vynechávejme sloupce a řádky matice tex2html_wrap_inline47308 a dojděme k jakési ``podmatici'' tex2html_wrap_inline49804 , ze které se již nic nedá vynechat. Potom je matice tex2html_wrap_inline49804 čtvercová; kdyby měla více sloupců než řádků, nebyly by sloupce nezávislé, a naopak (proč?). Jelikož podle lemmatu máme tex2html_wrap_inline49808 a tex2html_wrap_inline49810 , je důkaz vztahu tex2html_wrap_inline49790 hotov, neboť tex2html_wrap_inline49814 (obě se rovnají rozměru této čtvercové matice, z níž už nelze nic vynechat).

Důkaz lemmatu. Nechť třeba poslední sloupec je lineární kombinací předchozích:

equation11531

Označme symbolem tex2html_wrap_inline49816 ``useknutý'' řádek tex2html_wrap_inline49818 (bez posledního členu tex2html_wrap_inline49820 ).

Tvrdíme, že zobrazením ``useknutí''

equation11541

(které lineárně rozšíříme na celé tex2html_wrap_inline49826 ) se nemění vztah lineární nezávislosti řádků. Vskutku, označíme-li symbolem F lineární funkci (řádkového vektoru)

equation11552

máme vztah

equation11565

(neboť v řádkovém prostoru tex2html_wrap_inline49826 platí vztah tex2html_wrap_inline49832 ; odůvodněte blíže) a tudíž

equation11587

Druhý způsob. Níže napsanou argumentaci je třeba trochu modifikovat v případě prostorů komplexních.

Zaveďme na tex2html_wrap_inline49826 skalární součin indukovaný vnořením do tex2html_wrap_inline47328 . Všimněme si, že prostor

equation11599

je jádrem (nulovým prostorem) zobrazení

equation11604

(Toto je fakt samostatné důležitosti, zvl. v teorii řešení soustav rovnic.)

Na jedné straně tedy máme vztah (podle věty u konce kapitoly o skalárním součinu)

equation11615

Na druhé straně platí podle prvé věty této kapitoly

equation11621

Tedy je tex2html_wrap_inline49854 .

Důkaz rovnosti hodnosti zobrazení.

Vztah tex2html_wrap_inline49856 dokážeme rozkladem tex2html_wrap_inline49454 na komposici zobrazení

picture9439

kde I je isomorfismus přiřazující vektoru tex2html_wrap_inline49878 sloupec souřadnic tex2html_wrap_inline49880 vůči basi tex2html_wrap_inline48566 , A je označení zobrazení tex2html_wrap_inline49886 a J je isomorfismus přiřazující sloupci souřadnic tex2html_wrap_inline49890 vektor tex2html_wrap_inline49892 . Stačí si nyní uvědomit, že (odůvodněte podrobněji)

equation11650




next up previous contents index
Next: Hodnost součinuregulární matice Up: Zimní semestr Previous: Vandermondova matice

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997