next up previous contents index
Next: Ekvivalentní řádkové úpravy Up: Hodnost Previous: Hodnost

Hodnost součinu, regulární matice

Věta. Nechť tex2html_wrap_inline49454 , tex2html_wrap_inline49536 . Označme symboly tex2html_wrap_inline49906 , tex2html_wrap_inline49908 , tex2html_wrap_inline49910 hodnosti příslušných zobrazení. Pak platí vztahy

equation11663

a tudíž i tex2html_wrap_inline49916

Poznámka. Zatímco vztah tex2html_wrap_inline49918 je v této formulaci vidět triviálně, implikaci tex2html_wrap_inline49920 je vhodné zformulovat i v řeči matic:

Věta. tex2html_wrap_inline49922 a tedy také tex2html_wrap_inline49924 .

Důkaz. Vztah tex2html_wrap_inline49926 znamená, že

equation11693

Definice regularity. Čtvercovou matici tex2html_wrap_inline49578 nazveme  regulární, má-li hodnost n, v opačném případě říkáme matici singulární.  

Prvý důsledek. Pro každou regulární matici tex2html_wrap_inline47308 existuje tzv.   inversní matice tex2html_wrap_inline49538 taková, že 

equation11716

(Stačila by jedna podmínka k úplné charakterisaci tex2html_wrap_inline49538 , objasněte.) Značíme ji tex2html_wrap_inline49938 .

Důkaz. Pro regulární matici tex2html_wrap_inline47308 je zobrazení

equation11732

bijekcí (prosté a ``na''). Inversní maticí je pak prostě matice inversního zobrazení. Toto je také regulární.

Druhý důsledek. Regulární matice tvoří grupu vůči násobení, poněvadž tex2html_wrap_inline49946 je zřejmě inversní maticí k  tex2html_wrap_inline49948 , která je tím pádem regulární (pro regulární tex2html_wrap_inline47308 , tex2html_wrap_inline49538 ).

Které matice jsou určitě regulární.



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997